В полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения первого порядка

Данные уравнения в общем случае имеют вид

,

где левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции .

Известно, что полный дифференциал функции равен

 

.

Если левая часть заданного уравнения равна , то уравнение можно записать в виде . Тогда общий интеграл (общее решение в неявном виде) данного уравнения будет определяться уравнением , где С – произвольная постоянная.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы выражение

 

 

являлось полным дифференциалом, служит равенство

 

.

Если это условие выполняется, то

.

Отсюда следует

.

Интегрируем соотношение по x, находим

,

где - произвольная функция, зависящая от y.

Функцию С(y) необходимо выбрать так, чтобы выполнялось второе условие существования полного дифференциала

 

.

 

Дифференцируем по y, имеем .

 

Отсюда получаем дифференциальное уравнение для нахождения функции С(y)

.

Интегрируем данное уравнение, находим С(y) и подставляем егов ранее полученное выражение .

Получим общий интеграл

или .

Если имеются начальные условия для нахождения частного решения , то необходимо найти и записать частный интеграл .

 

Пример 7.15. Для уравнения найти общий интеграл и частный интеграл, удовлетворяющий условиям .

Проверим условие существования полного дифференциала. Находим

.

Условие выполняется 1 = 1.

Находим

.

 

Находим частную производную от этой функции

 

.

Приравниваем к , получаем уравнение для нахождения .

,

где .

Записываем .

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид

, где ,

или

, где .

 

Находим значение произвольной постоянной С, соответствующее начальным условиям ,

.

Частный интеграл

.

Таким образом, общий и частный интегралы имеют вид

 

, .