Групповая скорость

Элементы Фурье-оптики.

 

В большинстве случаев свет распространяется не в виде плоской монохромной волны вида

(5.1)

где- фазовая скорость,

а в виде суперпозиции волн, которые мало отличаются друг от друга по частоте. Такая суперпозиция волн называется волновым пакетом или группой волн.

Согласно теореме Фурье световой импульс, используемый для передачи сигнала, можно представить как наложение волн виды (5.1), частоты которых заключены в некотором интервале . Уравнение волнового пакета имеет вид

(5.2)

В фиксированный момент времени пакет имеет длину . В пределах длины пакета волны в различной степени усиливают друг друга, а вовне – гасят.

Расчет показал, что чем меньше ширина пакета, тем больший интервал частот требуется для описания его плоскими волнами. Имеет место соотношение .

В диспергирующей среде, в отличие от недиспергирующей, пакет с течением времени расплывается, ширина его увеличивается из-за разных фазовых скоростей, составляющих его волн. Если дисперсия невелика, то пакет расплывается медленно и пакету можно приписать скорость, с которой перемещается центр пакета, точка с максимальным значением E. Эту скорость называют групповой скоростью.

Рассмотрим суперпозицию двух волн, близких по частоте, одна волна имеет частоту , другая - .() и одинаковыми амплитудами. Уравнения плоских волн имеет вид

где ,

 

Получим (с учетом и ): результирующее колебание

Выражение в квадратных скобках представляет собой амплитуду результирующей плоской волны. (Так как и малы, то амплитуда меняется очень медленно.) Амплитуда имеет ряд максимумов, определенных соотношением

,

Откуда

Величинаесть групповая скорость для двух волн, то есть скорость перемещения максимумов. Можно доказать, что центр группы волн (5.2) перемещается с групповой скоростью

(5.3)

Из этого, так как , получим:

;

Так как k – функция , то . Учитывая, что ,

, поэтому . Следовательно, групповая скорость может быть записана:

(5.4)

Это соотношение связывает групповую и фазовую скорости. При , то есть скорость с увеличением длины волны растет, групповая скорость меньше, чем фазовая скорость. Так как соответствует - нормальная дисперсия. При аномальной групповая скорость больше фазовой. Скорость распространения энергии пакетом волн равна групповой скорости. В сильно поглощающих средах понятие групповой скорости теряет смысл.

Для двух волн связь и можно рассмотреть наглядно. Когда волна 1 имеет фазовую скорость , то место А, где волны усиливают друг друга, будет относительно волн перемещаться влево . Для пакета волн его центр будет перемещаться с меньшей скоростью, чем горбы и впадины. Они будут рождаться вначале пакета.

 

Элементарная теория дисперсии

 

Хотя движение электронов в атоме подчиняется законам квантовой механики, для качественного понимания оптических явлений , в т.ч. и дисперсии, достаточно воспользоваться электромагнитной и электронной теории вещества. Согласно которым электрон связан с атомом квазиупруго и может колебаться. Будучи выведенным из положения равновесия, электрон, совершая колебательные движения, теряет энергию на излучение электромагнитных волн, и поэтому колебания затухают. Затухание можно учесть, если ввести «силу трения излучения».

При прохождении через вещество электромагнитных волн на электроны действует сила Лоренца:

(5.5)

Так как , то

- скорость электрона

,

то есть - очень мала.

Вторым слагаемым мы можем пренебречь по сравнению с первым. Тогда на электрон со стороны электромагнитного поля будет действовать переменная сила с частотой электромагнитной волны.

 

 

(5.6)

Запишем уравнение 2-го закона Ньютона для движения электрона. Так как на него действуют следующие силы:

1. Квазиупругая сила, возвращающая (удерживающая) электрон в состоянии покоя ().

2. Сила трения излучения

3. Внешняя периодическая сила (5.6)

Таким образом, второй закон Ньютона будет выглядеть:

Пренебрежем для простоты расчетов силой трения излучения:

- собственная частота колебаний электрона

Из механики известно, что решением этого дифференциального уравнения является выражение:

где - амплитуда вынужденных колебаний электрона

Но электрическое поле волны поляризует молекулы, смещая на х электроны. Если считать дипольный момент молекулы в отсутствие поля равен 0, то при действии поля дипольный момент молекулы

=Е(t)

I – количество электронов в молекуле.

Предполагается, что смещение х происходит параллельно вектора.

Тогда поляризованность вещества (дипольн. мом. ед. объема0 под действием электромагнитной волны

Зная Р найдем - диэлектрическую проницаемость. Известно, что

Учитывая связь , получим для

где - собственная частота колебаний i-электрона в молекуле вещества.

Из (5.7) следует, что при приближении частоты электромагнитной волны к собственной частоте электронов в молекуле справа и слева показатель преломления стремиться к или соответственно Это происходит потому, что мы пренебрегаем трением излучения. Учет этой силы приводит к зависимости , показанной на рисунке.

Таким образом, дисперсия света объясняется электронной теорией зависимостью от различия между резонансными частотами электронов и частотой внешнего электромагнитного поля.

При частотах , отличающихся от . Если перейти от n² к n, а от к l для этих частот наблюдается нормальная дисперсия (уч. 1-2, 3-4). .

В зоне 2 – 3 наблюдается сильное поглощение электромагнитных волн, так как и наблюдается аномальная дисперсия. На уч. 1 –2 - это не противоречит теории относительности Эйнштейна, так как - фазовая скорость, а не групповая (скорость перед. энергии).