Функции алгебры логики

Рассмотриммножество векторов X = {<x₁... x_n>}. Будем предполагать, что координаты этих векторов могут принимать значения 0 или 1. Таким образом, множество X состоит из 2ⁿ векторов. Произведем отображение множества X в множество Y = {0, 1} [1].

Определение.Функцией алгебры логики называется функция, дающая однозначное отображение X в Y.

Определение.Если две функции алгебры логики f₁(x₁... x_n) и

f₂( x₁... x_n) принимают на всех наборах значений аргументов одинаковые значения, то их называют равными

Определение.Функция f(x₁... x_n) существенно зависит от аргумента x_i , если имеет место соотношение : f(x_1... x_i-1 , 0, x_i+1 ... x_n) ¹ f(x_1... x_i-1 , 1, x_i+1 ... x_n) . В противном случае x_i - фиктивный аргумент.

Теорема 1.Число различных функций алгебры логики, зависящих от n аргументов конечно и равно 2ⁿ.

Приведем иллюстрацию сказанного на основе анализа таблицы:

 

Таблица 1.6

x1, x2,..., xn	f(x1, x2,..., xn )
00...00	a1
00...01	a2
00...10	a3
...	...
11...11	a2n

 

Как показывает таблица, задавая тот или иной конкретный двоичный набор аргументов, задается одна из возможных функций алгебры логики, принимающая значение 0 или 1. Различное число таких наборов равно 2ⁿ. Следовательно, число функций будет равно 2ⁿ.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию области определения функции алгебры логики. Сопоставим наборам аргументов алгебры логики точки n-мерного пространства. Тогда множество 2ⁿ таких наборов определит множество вершин n- мерного единичного куба. Таким образом, множество вершин n- мерного единичного куба есть область определения функций алгебры логики. Пусть вершина А соответствует набору

( х1 = 1, х2 = 1, х3 = 1 ), а вершина B - набору ( х1 = 1, х2 = 1, х3 = 0 ).

Тогда графически это может быть представлено следующим рисунком:

 

 

X3

 

 

A

0 X2

 

B

 

X1

Рис. 1.1. Геометрическая интерпретация области определения логических функций

 

Рассмотрим основные функции, которые играют основную роль в построении функций алгебры логики и ее приложениях:

 

1. f = X.

2. f = ØX

3. f = 0.

4. f = 1.

5. f = X v Y.

6. f = X & Y.

7. f = X ~ Y(равенство, эквивалентность).

8. f = X ® Y(импликация).

9. f = X ¯ Y(стрелка Пирса, функция Вебба).

10. f = X | Y(штрих Шеффера).

11. f = X Å Y(сложение по модулю 2).

Эти одиннадцать функций алгебры логики позволяют строить новые функции, при этом используется два подхода: - подстановка в функцию новой функции вместо аргументов и переобозначение аргументов.

 

Определение. Функция, полученная из f₁ ... f_k путем применения возможно многократно указанных двух подходов называется суперпозицией функций f₁ ... f_k.

 

Пример.Представить в виде таблицы функцию

f(X1,X2 ) = { ( X1 ¯ X2 ) v (X1 Å X2 ) } = X1 | X2.

Решение.

X1	X2	X1 ¯ X2	X1 Å X2	X1 | X2.

Пример.Показать, что

X1 ® X2 = ØX1 v X2на основе построения и сравнения функций по таблицам истинности.

 

Решение.

X1	X2	X1 ® X2	ØX1	ØX1 v X2

Аналогично можно показать, что сложение по модулю 2:

X1 Å X2 = Ø ( (ØX1 v X2) & (X1 v ØX2 ) ).

А функция эквивалентности:X ~ Y = (ØX1 v X2) & (X1 v ØX2), т.е. эти 2 функции связанны отношением отрицания.

Ø(ØX1 ) = X.

X1 & X2 = Ø (ØX1 v ØX2).

X1 v X2 = Ø (ØX1 & ØX2).

Рассмотрим свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.