Электростатических полей в вакууме

Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плос­кости. Бесконечная плоскость (рис.8) заряжена с постоянной поверхностной плотностью +σ (– заряд, приходящийся на единицу поверхности).

 

Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкну­той поверхности мысленно построим ци­линдр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей.

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cosα=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилин­дра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны, и для основания E_n совпадает с Е), т.е. 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхно­сти, равен σS. Согласно теореме Гаусса, 2ES=.

Откуда

. (1.8)

Из формулы (1.8) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т.е. напря­женность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

Рис. 9

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис.9). В области между плоскостями Е=(и определяются по формуле (1.8)), поэтому результирующая напряженность . (1.9)

Таким образом, результирующая напряженность поля и области между плоскостями описывается формулой (1.9), а вне объема, ограниченного плоско­стями, равна нулю.

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью σ+.

Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис.10).

 

Рис. 10

Построим мысленно сферу радиусом r, имеющую общий центр с заряжен­ной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создаю­щий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, . Откуда (r≥R). (1.10)

 

 

При r > R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точеч­ного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 11.

Рис. 11

Если r < R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической по­верхности электростатическое поле отсутствует (Е=0).

4. Поле равномерно заряженного бесконечного ци­линдра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 12) заряжен равно­мерно с линейной плотностью τ (- заряд, приходящийся на единицу длины).

Для расчета напряженности электроста­тического поля в точке, отстоящей на рас­стоянии r от оси цилиндра (см. рис.12) или нити, можно воспользоваться форму­лой (1.11).

(r≥R). (1.11)

Если r < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е=0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заря­женного бесконечного цилиндра определяется выражением (1.11), внутри же его поле отсутствует.