Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры

Модели, построенные по временным данным, представляют модели временных рядов.

Временной ряд Х_t (t=1; n) – ряд значений какого-либо показателя, характеризующих один и тот же объект за несколько последовательных моментов или периодов времени. Уровень временного ряда Х_t складывается из следующих основных компонентов:

• трендовой компоненты, характеризующей основную тенденцию уровней ряда (T);

• циклической, или периодической, компоненты, характеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Различают конъюнктурную компоненту (К), связанную с большими экономическими циклами, и сезонную компоненту (S), связанную с внутригодовыми колебаниями уровней ряда;

• случайной компоненты, которая является результатом воздействия множества случайных факторов (Е).

Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих компонент: .

В зависимости от вида связи между этими компонентами может быть построена либо аддитивная модель: , либо мультипликативная модель: ряда динамики.

Для выявления структуры ряда (т. е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию. Дело в том, что наличии во временном ряде трендовой и циклической компонент значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих.

Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х₁, Х₂, .... Х_n-L и рядом Х_1+L, Х_2+L, .... Х_n, где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентов автокорреляции:

,

где ;

– средний уровень ряда
(Х_1+L, Х_2+L, .... Х_n);

– средний уровень ряда
(Х₁, Х₂, .... Х_n-L).

– средние квадратические отклонения, для рядов (Х_1+L, Х_2+L, .... Х_n) и
(Х₁, Х₂, .... Х_n-L) соответственно.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка ,. если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция ( ) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается значение , то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался , то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L. Если ни один из (l=1;L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

• либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

• либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Рассмотрим пример: Пусть имеются данные предприятия об объемах выпуска некоторого товара по кварталам за 3 года в тыс. шт. (табл. 3.1)

Таблица 3.1

Год

г

Квартал

Объем выпуска(Хt)

 

Определим структуру данного временного ряда. Для этого рассчитаем коэффициенты автокорреляции 1, 2, 3, 4, 5 порядков.

Чтобы найти коэффициент корреляции 1-го порядка, нужно найти корреляцию между рядами (расчет производится не по 12, а по 11 парам наблюдений):

Xt
Xt-1

 

Тогда коэффициент автокорреляции 1-го порядка будет равен = 0,538.

Коэффициент корреляции 2-го порядка между рядами:

Xt
Xt-2

будет равен = 0,286 (расчет в данном случае производится не по 12, а по 10 парам наблюдений).

Аналогично рассчитываются коэффициенты автокорреляции 3-го, 4-го и 5-го порядков. Результаты расчета представим в виде таблицы коррелограммы (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Лаг (порядок)		Коррелограмма
	0,538	****
	0,286	*
	0,432	***
	0,992	*****
	0,373	**

 

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция и периодические колебания с периодом, равным 4.