Традиционный метод наименьших квадратов – МНК (OLS)

После определения вида функциональной зависимости – у = f(x) оценивают параметры модели. Для определения «наилучших» параметров модели можно использовать следующие критерии:

1) сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений зависимой переменной у от значений , рассчитанных по функции – метод наименьших квадратов (МНК);

2) сумму модулей отклонений наблюдаемых значений зависимой переменной от ее расчетных значений: ;

3) , где g – «мера», с которой отклонение для i-го наблюдения входит в функционал.

Оптимальными будут значения параметров, минимизирующие функционал S.

Для оценки параметров b_j(j = 0; 1) модели линейной пар ной регрессии: y_i =b₀ + b₁∙x_i + u_i (i = 1; п) наиболее часто используется традиционный (обычный) метод наименьших квадратов, согласно которому в качестве оценок параметров принимают величины (j = 0; 1), минимизирующие сумму квадратов отклонении наблюдаемых значений результативного признака — y_i от расчетных (теоретических) значений – :

Значения y_i и x_i (i = 1; п) нам известны, это данные наблюдений. В функции S они представляют собой константы. Переменными в данной функции являются оценки параметров (j = 0; 1). Чтобы найти минимум функции двух переменных, необходимо вычислить частные производные данной функции по каждому из параметров и приравнять их к нулю, т.е.

, .

В результате получим систему из двух нормальных линейных уравнений:

Решая данную систему, найдем искомые оценки пара метров:

где – дисперсия факторного признака;

– среднее значение результативного признака;

– среднее значение факторного признака;

– среднее значение произведения фактора на результат.

Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм (при этом, возможно некоторое расхождение из-за округления расчетов).

Результаты многих исследований подтверждают, что чис­ло наблюдений должно в 6-7 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной х. Это означает, что искать линейную регрессию, имея менее 7 наблюдений, вообще не имеет смысла.

Рассмотрим пример: по данным о заработной плате и возрасте 10 рабочих (см. табл. 1.5) оценить параметры линейной парной регрессии методом наименьших квадратов.

Расчет оценки коэффициента регрессии сведем в табл. 1.5.

Таблица 1.5

№ наблю-дения	X – возраст рабочего, лет	Y – заработная плата за месяц, $
				44,22
				18,92
				0,12
				13,32
				160,02
				87,42
				5,52
				18,92
				205,92
				128,82
				58,52
				31,92
				113,42
				152,52
				31,92
				18,92
				18,92
				5,52
				44,22
				113,42
				1272,55
Среднее значение	35,65			63,63

Тогда линейная парная регрессии, описывающая зависимость заработной платы от возраста рабочего:

То есть с увеличением возраста рабочего на 1 год работная плата в среднем повышается на 7,23 руб.

В матричной форме критерий метода наименьших квадратов записывается так:

Дифференцируем S по вектору b и приравняем производные 0, чтобы найти МНК-оценки b. В результате получим систему из двух нормальных линейных уравнении:

.

Учитывая обратимость матрицы , находим МНК-оценку вектора b: , где .

По правилу умножения матриц:

.

В матрице Х^ТХ число 20, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы Х^T и 1-го столбца матрицы X. Число 713, лежащее на пересечении 1-й строки и 2-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы Х^Т и 2-го столбца матрицы X и т. д

 

.

Найдем обратную матрицу:

.

Тогда вектор оценок параметров регрессии равен:

а оценка уравнения регрессии будет иметь вид: