Погрешность численного дифференцирования

Для вычисления производных функции может быть использовано выра­жение: , где m – порядок производной; – функция, аппроксимирующая функцию ; – погрешность аппроксимации функции . В качестве можно принять частичную сумму ряда или интерполяционную функцию. Тогда определяется остаточным членом ряда или интерполяционной формулы. За приближенное значение производной -го порядка можно принять значение соответствующей производной , то есть . Величина , характери­зующая отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения, называется погрешностью аппроксимации производной. При численном дифференцировании функции, заданной в виде таблицы с шагом , эта погрешность зависит от , и ее записывают в виде , где – показатель степени, называемый порядком погрешности аппроксимации производной. При этом принимается <1. Оценку погрешности можно проиллюстрировать с помощью ряда Тэйлора:

 

.

 

Если задана в виде таблицы значений , , то ряд Тэйлора с точностью до членов порядка при , запишется: . Отсюда найдем значение производной в точке :

 

.