Использование этих гидромеханических моделей и свойств жидкостей позволяет решить основные задачи гидромеханики в бурении.

 

КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

 

Задача кинематики - описание движения среды независимо от внешних условий,которые инициируют и поддерживают движение. Т.к. СС представляет собой непрерывную совокупность точек, то чтобы описать её движение, необходимо описать движение ВСЕХ точек.

Движение обычно определяется по отношению к некоторой системе отсчёта, которую мы называем системой координат. Если нет особой оговорки, то через х1, х2, х3 будем обозначать координаты любой ортогональной системы.

Способ Лагранжа. Задаются законы изменения положения (подвижная система отсчёта), скорости, ускорения и других величин, то есть кинематические уравнения движения:

хi = xi (x1,x2,x3, t) (i = 1,2,3), (1.1)

где xi являются координатами фиксированной (индивидуальной) точки среды. Совокупность величин x и t называются переменными Лагранжа.

Построение математической модели любой СС опирается на понятие закона движения.

Запишем проекции скоростей и ускорений точек среды на оси координат хi, которые определяются обычными равенствами:

, (1.2)

Способ Эйлера.Задаются перемещение, скорость, ускорение в точке пространства (неподвижная система отсчёта), мимо которойв данный момент проходят частицы среды, как функции координат точек пространства xi и времени t:

ui = ui (x1, x2, x3 , t);

vi = vi (x1, x2, x3 , t); (1.3)

ai = ai (x1, x2, x3 , t).

Совокупность параметров хi и tназывают переменными Эйлера.

Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера и наоборот.Если у нас есть закон движения СС в форме (1.1), то чтобы перейти к переменным Эйлера необходимо разрешить уравнения (1.1) относительно xi .

xi = xi(x1, x2, x3 , t). (1.4)

При фиксированных координатах хi эти соотношения указывают те точки xi СС, которые в разные моменты времени проходят через данную точку пространства.

Для перехода от переменных Лагранжа к переменным Эйлера (хi,t), необходимо в формулы для проекций скоростей vi = vi (x1,x2,x3, t)и других величин подставить соотношения (1.4).

Пусть задано распределение скорости в форме Эйлера (1.3), тогда, учитывая равенства (1.2) , получим СИСТЕМУ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ относительно хi:

где (i = 1,2,3)

Решая эту систему, определим хi = хi1, С2, С3, t),где - С1, С2, С3 -постоянные, определяемые по хi при t = t0, то есть, они являются координатами индивидуальной точки сплошной среды (переменными Лагранжа).

ПОЛЯ В ГИДРОДИНАМИКЕ

При изучении движения жидкости рассматривают её как сплошную среду. Таким образом, рассматривают не движение конечного числа отдельных частиц, а поля различных физических величин: скорости, плотности, давления и т.д. Такие поля можно назвать материальными полями. Математически эти поля описывают системой функций от координат и времени. Такой подход типичен не только для механики сплошных сред, но и для ряда других областей физики.

В общем случае поле является пространственным (трёхмерным), однако, иногда задачу упрощают, и рассматривают двумерные (плоские) или одномерные поля. В этом случае полагают, что физические величины зависят от одной или двух пространственных координат.

Если физические величины не зависят от времени, то поле называют стационарным, в противоположном случае - нестационарным.

При математическом описании полей предполагают, что существуют пределы значений физических величин в точке. Такой подход упрощает физическую реальность, так как не учитывает дискретность строения материи, но такая абстракция оправдана, нужно только разумно ограничивать область полученных результатов.

Так как в практических задачах размеры обтекаемых тел намного порядков больше молекулярных размеров, то в этих задачах жидкость можно рассматривать как сплошную среду.

СКАЛЯРНЫМ называют поле, которое характеризуют в каждой точке пространства одним числом. Скалярное поле описывают одной функцией, зависящей от трёх координат. (Например, поле плотности или температуры).

Основное свойство скалярной функции а(х123) состоит в том, что её численное значение не меняется при преобразовании координат. Если перейти от старой х123 к новой х¢1¢2¢3 системе координат, то значения плотности или температуры в фиксированной точке пространства, естественно, не изменяются:

а(х¢1¢2¢3)= а(х123).

ВЕКТОРНЫМназывают поле, которое в каждой точке пространства характеризуютВЕЛИЧИНОЙ и НАПРАВЛЕНИЕМ. Например, поле скоростей жидкости. Вектор ав пространстве трёх измерений может быть задан тремя компонентами:

а1123), а2123), а3123),

то есть, тремя функциями от трёх переменных. Это можно записать в виде матрицы-столбца:

а ÜÞ

Введём новую декартову систему координат с тем же началом, НО С ДРУГИМ НАПРАВЛЕНИЕМ ОСЕЙ. Пусть lij - направляющий косинус оси x¢j относительно оси xi (i = 1,2,3; j = 1,2,3).Вычислим проекции того же вектора на новые оси координат:

a¢1 = l11 a1 + l21 a2 + l31 a3;

a¢2 = l21 a1 + l22 a2 + l23 a3;

a¢3 = l31 a1 + l32 a2 + l33 a3;

Следовательно, вектор подчиняется определённому закону преобразования его компоненти отличается от скалярной величины, численное значение которой не меняется при преобразовании координат. То есть, сам вектор не меняется в новых координатах, а меняются его компоненты.

Это выражение можно представить в индексной форме записи в виде суммы:

Или ещё более короткой

При такой записи пользуются двумя правилами:

1. Соглашение о суммировании. По индексу, встречающемуся дважды (немой индекс), производят суммирование от 1 до 3.

2. Соглашение о ранге. Индекс, встречающийся один раз (свободный индекс), пробегает значения от 1 до 3.

Таким образом, уравнение с одним свободным индексом означает запись трёх уравнений.

Помимо скалярных и векторных полей в МСС рассматриваются ещё и ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ.

Рис.1.1 Система напряжений на гранях элементарного объёма (Г.С. Самойлович. Гидрогазодинамика.С.8).

Вырежем в жидкости элементарный параллелепипед с рёбрами dx1, dx2, dx3 (рис.1.1). На грани этого параллелепипеда со стороны остальной жидкости действуют поверхностные напряжения. В общем случае на каждую грань действуют как НОРМАЛЬНЫЕ так и КАСАТЕЛЬНЫЕ напряжения. В принятой записи каждое из напряжений будет иметь два индекса. Первый индекс означает ориентацию площадки, на которую действует напряжение, второй - ось проектирования.

Компоненты напряжений можно записать в виде матрицы тензора напряжений

при i = 1,2,3; j = 1,2,3.

Первый индекс означает номер строки, второй - номер столбца. Нормальные напряжения имеют два одинаковых индекса - диагональ матрицы. Касательные напряжения имеют разные индексы.Ранг тензора равен числу индексов компонент.

Тензор второго ранга описывается в общем случае девятью функциями трёх переменных. Однако этот тензор обладает важной особенностью. Из условия равенства нулю моментов, действующих на элементарный объём следует, что касательные напряжения с одинаковыми, но расположенными в обратном порядке индексами равны: sij = sji. Такой вектор называется симметричным и может быть записан как:

Следовательно, такой тензор напряжений выражается через шесть функций трёх переменных.

Компоненты напряжений представляют как нормальные, так и касательные напряжения. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ВОЗНИКАЮТ ВСЛЕДСТВИЕ ВЯЗКОСТИ, которой обладают все реальные жидкости. В покоящейся вязкой жидкости касательные напряжения отсутствуют, так как скорости деформации равны нулю, а нормальные напряжения вызваны только давлением и не зависят от ориентации площадки. (Закон Паскаля).

Идеальная жидкость это жидкость, лишённая вязкости. Следовательно, в идеальной жидкости касательные напряжения отсутствуют, и матрица тензора напряжений принимает вид:

.

Перед Р по условию поставлен знак - минус, так как давление обычно сжимает жидкость, то есть действует против положительного направления нормали к площадке.

Матрицу (1.10) можно сокращённо записать в виде sij = - P dij,

где dij = 1 при i = j; dij = 0 при i ¹ j , СИМВОЛ КРОНЕКЕРА.

Понятие установившегося движения относительно, так как в зависимости от выбранной системы координат одно и то же движение может быть установившимся и неустановившимся.

Пусть распределение плотности задано в переменных Лагранжа:

r = r (x1,x2,x3, t),тогда изменение плотности частицы СС равно .

Если функция задана в переменных Эйлера: r = r (x1, x2, x3, t), необходимо перейти к переменным Лагранжа и воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции, в результате чего получим:

Производнаяназывается полнойпроизводной (индивидуальной, субстанциональной)ихарактеризует изменение плотности данной частицы сплошной среды в единицу времени.

Производная называется частной (местной, локальной) и характеризует изменение плотности в данной точке пространства в единицу времени.

Величина называется конвективной производной.

Аналогично формуле(1.5)можно написать формулы для определения полной производной по времени проекций любой векторной величины, заданной в переменных Эйлера.

Для любого векторного поля используют понятие векторных линий. Векторные линии - это семейство линий, касательные к которым совпадают с направлением вектора. В случае поля скоростей эти линии принято называть ЛИНИЯМИ ТОКА.

Если выбрать произвольную кривую С, не совпадающую с линией тока, и через каждую её точку провести линию тока, то образуетсяПОВЕРХНОСТЬ ТОКА.Если кривая С замкнута, поверхность тока превращается в ТРУБКУ ТОКА.

Аналитически семейство линий тока можно найти из условия коллинеарности (расположения на одной прямой или на параллельных) элемента , взятого вдоль линий тока, и вектора скорости , то есть . Где dl - скалярный параметр.

Запишем дифференциальные уравнения линий тока в проекциях:

(i = 1,2,3).

Здесь - величина t - параметр.

Уравнения, описывающие закон движения или траектории движения частиц сплошной среды будут выглядеть таким образом, где t - переменная величина:

(i = 1,2,3).

То есть, линии тока не совпадают с траекториями.Совпадать они могут только в двух случаях:

1. При установившихся движениях (тогда между двумя последними уравнениями нет различия);

2. При неустановившихся течениях (когда поле скоростей меняется по величине, но не меняется по направлению).

Если какая-либо скалярная величина задана как функция переменных Эйлера, то в каждый момент времени можно рассматривать поверхность, где

f (x1 , x2 , x3 ,t) = const,

которая называется поверхностью равного уровня или эквипотенциальной.

Вектор-градиент скалярной функции r в точке М – это вектор, направленный по нормали в какой-либо точке М поверхности (1.9) в сторону роста r и равный по величине .

Вектор-градиент обозначается как grad r и вычисляется по формуле:

,

где - единичные векторы по направлению и вдоль координатных осей.

Проекция вектора grad r на некоторое направление определяет изменение плотностей в этом направлении:

где q- угол между направлениями и ; Cos aI – направляющие косинусы вектора .

Наибольшее изменение плотности происходит в направлении, нормальном к поверхности (1.9).

Поток скорости через поверхность. Если в поле скорости V (или любой другой векторной величины) мысленно провести некоторую поверхность S и в каждой точке её задать нормаль , то для определения объёма жидкости, протекающей за единицу времени сквозь поверхность S, необходимо вычислить интеграл

.

Поток скорости сквозь замкнутую поверхность S, отнесённый к единице объёма V, заключённого внутри S, называется РАСХОЖДЕНИЕМ или ДИВЕРГЕНЦИЕЙ скорости, т.е.

.

В декартовой системе координат дивергенция скорости вычисляется по формуле:

.

Отсюда видно, что дивергенция скорости определяет скорость объёмного расширения жидкости в бесконечно малой окрестности данной точки. Поэтому поток скорости через замкнутую поверхность S должен быть равен расширению всего объёма V жидкости внутри S, то есть