Коэффициент формы. Баллистический коэффициент. Функции сопротивления.

Лобовое сопротивление артиллерийского снаряда.

При движении снаряда в атмосфере силы аэродинамического сопротивления складываются из сил давления воздуха, направленных по нормали к поверхности, и сил трения, направленных по касательной к поверхности. Равнодействующая сила (если она существует) приложена к центру давления снаряда. Система аэродинамических сил, действующих на снаряд, сводится к главному вектору аэродинамических сил , построенному в центре масс, и главному моменту , относительно центра масс, который в зависимости от направления может быть либо опрокидывающим, либо стабилизирующим моментом (рис. 6.1). Рассмотрим главный вектор аэродинамических сил

где - сила лобового сопротивления;

- нормальная составляющая силы сопротивления. Так как снаряд симметричен, то при δ=0; т.е.

где δ- угол между вектором скорости и продольной осью снаряда ξ.

При правильном полете снаряда δ- мал, обычно δ 10⁰.

При этом R_N- мало и

Величину силы лобового сопротивления обычно представляют в виде

(6.1)

где ρ – массовая плотность воздуха [кГ∙с²/м⁴] (техн.сист); [м] (СИ)

S – площадь поперечного сечения снаряда [м²] (техн.сист); [м²] (СИ)

V – скорость центра масс снаряда [м/с] (техн.сист); [м/с] (СИ)

– безразмерный коэффициент лобового сопротивления, зависящий от формы снаряда, скорости его движения в воздухе, вязкости и упругости воздуха. Для снаряда фиксированной формы, занимающего фиксированное положение в потоке воздуха, например δ=0, коэффициент определяется только сжимаемостью и вязкостью воздуха, т.е. числом маха и числом Рейнольдса

(6.2)

В диапазоне изменения скоростей, соответствующем движению артиллерийских снарядов в атмосфере, число Re меняется незначительно и зависимостью C_X от Re можно пренебречь, полагая, что

(6.3)

Преобразуем (6.1), учитывая, что

где ,

где d – калибр снаряда (диаметр) в [м]; П – весовая плотность воздуха в [кГ/м³]. Получим

(6.4)

Учтем, что для стандартной атмосферы, например НАА,

т.е

подставим в (6.4), разделим и домножим на 1000, получим

(6.5)

Рассмотрим ускорение силы лобового сопротивления

(6.6)

Учитывая (6.5), получим

(6.7)

Если известна зависимость для какого – либо эталонного снаряда, то для группы снарядов, близких к нему по форме, коэффициент может быть представлен в виде

где – коэффициент формы артиллерийского снаряда данного вида.

Коэффициент формы очевидно тоже есть функция , так как функции и не совпадают. Однако для снарядов близких по форме к эталонному, коэффициент формы оказывается постоянным (или очень слабо меняется и его можно считать постоянным) на всей траектории полета. Это делает введение в рассмотрение целесообразным и избавляет от необходимости определять зависимостью для каждого снаряда. Достаточно определить . Однако, всегда важно указывать по отношению к какому эталонному снаряду, т.е. по отношению к какому закону сопротивления выбран коэффициент формы .Чем лучше подобран эталонный снаряд для данной группы снарядов, тем ближе к единице.

Подставим (6.8) в (6.7),получим

(6.9)

Рассмотрим величину

- баллистический коэффициент (6.10)

Баллистический коэффициент зависит от формы снаряда , его размеров . При вводе в рассмотрение необходимо указывать по отношению к какому эталонному снаряду выбран коэффициент . Для снарядов крупных калибров - мал. Для малых калибров - велик, так

- для артиллерийских снарядов

- для пуль

Благодаря искусственному введенному множителю 1000 значения оказываются удобным при пользовании.

Подставим (6.10) в (6.9) и запишем

(6.11)

Величина , зависящая только от , называется функцией сопротивления

(6.12)

Типичный вид функции изображен на рис 6.2. Вид функции определяется для каждого эталонного снаряда. Зависимость соответствующую выбранному эталонному снаряду называют эталонной функцией сопротивления.

При и при можно считать, что то есть Для [кг/м³], [кг/м³].

Кроме того в баллистике рассматриваются еще две функции сопротивления

(6.13)

(6.14)

Отметим, что при

Ускорение силы лобового сопротивления запишется с учетом (6.12) – (6.14) в виде:

(6.15)

(6.16)

(6.17)

В баллистике для функций G, F эталонных снарядов составляются таблицы (для G) или графика (для F). Эти функции являются функциями двух переменных =0 . Это неудобно, т.к. для них следовало бы составлять громоздкие таблицы с двумя входами. Для того, чтобы избежать этого составляют таблицы всех функций для нормальной скорости звука

м/с.

Функции ,заменяются на функции «приведенной» скорости снаряда . Под приведенной скоростью снаряда понимается скорость при которой снаряд, двигаясь в атмосфере с нормальной скоростью звука , имеет то же число маха, что и снаряд, движущейся со скоростью в атмосфере со скоростью звука .

т.е. . (6.18)

Учтем, что тогда

Функция при употреблении приведенной скорости заменяется

(6.19)

Функция переписывается в виде

(6.20)

Введем (6.21)

Тогда (6.22)

Функция переписывается в виде

(6.23)

Введем (6.24)

Тогда (6.25)

Таблицы в зависимости от одной переменной составляются для функции или Величины и зависят только от ординаты y и определяются зависимостями в НАА. После определения или расчет или осуществляется по формулам (6.22), (6.25).

Обычно для используются таблицы вида

Для задаются графические зависимости. Для функций , формулы (6.16),(6.17) могут быть в виде

(6.26)

(6.27)

где – затабулированная функция Y.

6.2. Законы сопротивления воздуха.

В различные исторические периоды исследовать законы сопротивления различных типов эталонных снарядов. Эти законы выражались графически, таблично и аналитически в виде аппроксимирующих результаты эксперимента зависимостей.

Известны, например следующие законы.

I. Закон Майевского и Забудского (1895г.)

где для различных диапазонов используются свои значения и .Закон установлен для достаточно тупых снарядов с радиусом оживаля порядка . В настоящее момент не используется.

II. Закон Гарнье – Дюпуи (1923г.) и отечественный закон 1930г.

Где - коэффициенты, установленные для пяти типов снарядов, а , - функции общие для всех пяти эталонных снарядов.

III. Закон Сиаччи (1896г.)

Установлен для снарядов того же типа, что и закон Майевского и Забудского, но более распространен. Для снарядов современных форм дает при м/с

Реализован в таблицах артакадемии.

IV. Закон 1943 года.

Для современных снарядов применяется в виде таблиц стрельбы ГАУ в диапазоне . м/с. Вне этого диапазона можно считать

7. Основная задача внешней баллистики (ОЗВБ).

7.1. Постановка задачи. Основные допущения.

Предметом ОЗВБ является изучение движения снаряда в атмосфере как материальной точки, движущейся под действием двух сил: силы тяжести и силы сопротивления воздуха.

При этом делаются следующие основные допущения:

1. Снаряд движется правильно, то есть угол δ – мал и нормальной силой можно пренебречь по сравнению с силой лобового сопротивления. При этом снаряд рассматривается как материальная точка, совпадающая с его центром масс.

2. Земля плоская.

3. Земля неподвижна.

4. Сила тяжести постоянна по величине и направлению и направлена вертикально вниз.

5. Атмосфера неподвижна (ветра нет).

6. Отклонением от снаряда от касательной к траектории можно пренебречь.

При этом (см.рис 7.1)

7.2. Дифференциальные уравнения движения снаряда.

Основное уравнение динамики применительно к движению центра масс снаряда имеет вид

(7.1)

Спроектируем (7.1) на оси координат, поделим массу, учитывая, что и переписываем в виде системы дифференциальных уравнений второго порядка.

(7.2)

Выпишем систему шести уравнений первого порядка, эквивалентную (7.2)

Начальные условия имеют вид:

При

(7.4)

Интегрируя уравнения (3) и (6) системы (7.3) начальными условиями (7.4), получим

т.е.

т.е. (7.5)

Из (7.5) следует:

1. Траектория снаряда в ОЗВБ есть плоская кривая, расположенная в плоскости бросания.

2. Проекция скорости на ось X равна горизонтальной проекции скорости

Учитывая, что перепишем уравнения (7.3) в виде (7.6)

Система уравнений (7.7) есть система 7 уравнений с семью неизвестными Приведем её к более удобному виду, с целью получить непосредственную зависимость от от . Для этого найдем следующие производные:

учтем (7.8)

Продифференцируем (7.8)

учтем (7.7), получим

Таким образом

(7.9)

Из (7.9), в частности, следует, что при

т.е. угол наклона касательной с течением времени убывает.

Найдем для того продифференцируем выражение получим с учетом(7.7)

Или (7.10)

Из уравнения (7.10) следует, что в отличие от параболической теории, в вершине траектории скорость продолжает убывать (рис.7.2), а минимум скорости реализуется в точке за вершиной, в которой и

Более точные исследования показывают, что после прохождения минимума скорости V начинает возрастать. Если траектория длинная, т.е. при стрельбе на большую дальность, при нарастании плотности воздуха и скорости по мере падения снаряда снова станет отрицательной за счет роста сопротивления воздуха . При этом проходит через максимум и снова начинает убывать. При стрельбе на малые дальности, т.е. для коротких траекторий точка может находиться на участке траектории, продолженном за точку падения С, при этом зависимость будет монотонно убывающей от точки вылета О до точки падения С.

7.3. Системы уравнений ОЗВБ при различных аргументах.

Избавимся в (7.7) от W,учитывая и заменяя 4е уравнение (7.7) на уравнение (7.9). Получим систему уравнений ОЗВБ при аргументе t:

Система(7.11) есть система 6ти уравнений с 6ю неизвестными Выпишем систему уравнений для неизвестных . Считая аргументом . Для этого умножаем (7.11) на получим

Выпишем систему уравнений для переменных считая аргументом угол . Для этого используем (7.9) для выражения а остальные уравнения получим из (7.11) домножением на

4. (7.13)

При численном решении задачи о движении центра масс артиллерийского снаряда наиболее удобно система уравнений (7.12) при аргументе X, т.к. она имеет наиболее простые правые части уравнений.

При получении приближенно-аналитических решений наиболее удобна система уравнений(7.13) при аргументе , т.к. в ней, объединяя уравнения 4, 5, 6 удается выделить одно уравнение с 2мя неизвестными и – уравнение годографа скорости.

7.4. Уравнение годографа скорости

Уравнением годографа скорости называется уравнение, задающее зависимость величины вектора скорости от его направления

Дифференциальное уравнение годографа скорости удобнее всего получить из уравнений 4, 5, 6 системы (7.13)

или (7.14)

Его можно заменять для переменной u

(7.15)

Уравнения (7.14) или (7.15) кроме основных переменных или содержат еще переменные Y и a (причем ). Однако, если сделать некоторые упрощающие предложения, то можно, во – первых, получить уравнения, связывающее только 2 переменные, например и а во – вторых, с помощью дополнительных упрощений, разделить переменные в этом уравнении. Последнее позволяет строить приближенные аналитические решения ОЗВБ, т.е. точные аналитические решения уравнений, полученных после упрощения уравнения годографа скорости.

Обычно делаемые допущения сводятся к двум.

1) Сделаем предположения о вертикальной однородности атмосферы, т.е.

где - известно из «параболической» теории. При стрельбе по настильной траекториям , т.к. При стрельбе зенитными снарядами где - высота разрыва снаряда. В обоих случаях допущение хорошо выполняется. В этом случае уравнение годографа (7.14) запишется в виде

(7.16)

т.е. станет уравнением, содержащем только две переменные и Вместо часто берут , так что

Для возможного аналитического решения уравнения (7.16) необходимо разделить в нем переменные. Проще рассмотреть уравнения для

(7.17)

2) Для решения уравнения (7.16) функцию заменяют на приближенное выражение, где под знаком F остается только . Примером может быть подстановка Сиаччи

(7.19)

где

Первый путь (7.18) ограничен узкими диапазонами изменения скорости,но применим для различных углов бросания .

Второй путь правомочен в узком диапазоне изменения угла при движении по траектории, например на настильных траекториях, где где

При этом меняется от 1 до 0.94 и его можно вынести за знак функции При росте диапазона изменения точность такого подхода к решению быстро падает.

Обычно в ОВЗБ ставится следующим образом: при заданных и начальных условиях определить кривые и параметры, определяющие движение снаряда в воздухе, т.е. и т.д.

7.5. Таблицы стрельбы.

Решение ОЗВБ определяется начальными условиями значением баллистического коэффициента и видом функции сопротивления . При заданных параметрах и функции решение ОЗВБ может быть получено численно с любой требуемой точностью. Результаты решения табулируются в виде таблиц для основных параметров траектории: полной горизонтальной дальности , высоты траектории и др. Таблицы соответствуют конкретному виду функции . Так таблицы ГАУ соответствуют закону сопротивления 1943г. Таблицы Сиаччи (Артакадемии КА) – закону сопротивления Сиаччи и т.д. Параметры траектории, не приведенные в таблицах, должны получаться непосредственно из решения ОЗВБ. В процессе экспериментальной обработки боеприпасов замеряется, как правило, единственный параметр – полная горизонтальная дальность Остальные параметры определятся из расчета. При этом предварительно определяется баллистический коэффициент который для принятого закона сопротивления обеспечивает Таким образом, баллистический коэффициент играет роль параметра согласования между результатами решения ОЗВБ и экспериментом. Определение проводится для данных интерполяцией в таблицах стрельбы по значению . Вид таблиц стрельбы приведен ниже.


С
0.1
0.15
0.2

7.6. Пример курсовой работы.

Цель курсовой работы – численное решение ОЗВБ и сравнение рассчитанной траектории движения снаряда с решением, полученным с помощью основных или вспомогательных функций Сиаччи. В качестве эталонной функции сопротивления используется функции Сиаччи.

Исходные данные: начальная скорость ;

угол бросания ;[рад]

вес снаряда ;[кг]

калибр снаряда ;[м]

экспериментальная дальность ;[м]

Этапы работы:

1. Определение баллистического коэффициента .

Пусть м/c; ; Используя таблицы стрельбы Сиаччи (Артакадемии КА).

Определяем табличные условия ограничивающие интервала, содержащие

В таблице определяем диапазон , обеспечивающий стрельбу на требуемую дальность.


	V₀ С	650 ^м/_c		700 ^м/_c
10⁰	0.15 0.20 0.25	4.065 3.968 3.934	4.0627 4.0 3.9767 3.9422	4.0535 4.0115 3.9750
15⁰	0.3 0.35 0.4	4.0065 3.9780 3.9525	4.0082 4.0 3.9845	4.0410 4.0105 3.983

Положение отмечены в таблице ( ) интерполируем таблицу по скорости на значении м/c, т.е. заполняем средний столбец.

Из таблицы видно, что значение лежит между значениями для при и значениями для при и значениями.

Интерполируем значения по значениям в столбце м/c в точку

После интерполяции получим таблиц, соответствующую м/c,

Интерполируем эту таблицу по в точку . Получаем

2. Проверка правильности определения

Определенное в пункте 1 значение используется для определения интерполяцией по таблицам стрельбы. Полученное значение отличается от на погрешность двукратного процесса интерполяции в таблице – при определении по и при определении по Различие и характеризуют точность интерполяции. Необходимо, чтобы

3. Определяется коэффициент формы снаряда по отношению к эталонному снаряду Сиаччи.

т.е.

4. Проводится численное интегрируем системы уравнений ОЗВБ при аргументе записывается в виде

Или в векторной форме

где , а - вектор правых частей

системы уравнений (7.20). Предлагаемый интервал изменения , т.е. полная дальность, разбивается на шаги В начальной точке траектории задаются начальные условия: при то есть

(7.20)

Значения решения в точках Пищутся в процессе решения разностного уравнения

(7.23)

где

(7.24)

Разностное уравнение (7.23) аппроксимируем дифференциальное уравнение (7.21) с порядком аппроксимации 0( . Это означает, что погрешность численного решения системы уравнений (7.20) стремится к нулю как при Это позволяет путем выбора достаточно мелкого шага численного интегрирования получать любую требуемую точность численного решения дифференциальных уравнений, не выходящую однако за пределы точности используемой ЭВМ.

При решении уравнений (7.20) используется функция сопротивления Сиаччи и таблицы НАА.

Шаг интегрирования выбирается из предварительного расчета полной горизонтальной дальности по параболической теории.

В результате решения ОЗВБ на ЭВМ на АЦПУ выдается таблица решения. Методика Алдонина фундаментальный отдел.


161309₁₀- 4	474905₁₀- 6	286215₁₀- 5	611085₁₀- 3	-865376₁₀– 40
298875₁₀- 4	984030₁₀- 6	237731₁₀- 5	569493₁₀- 3	-761709₁₀– 40
409123₁₀- 4	153033₁₀- 5	181863₁₀- 5	530393₁₀- 3	-665018₁₀– 40
487902₁₀- 4	211678₁₀- 5	117443₁₀- 5	493926₁₀- 3	-575656₁₀– 40
530420₁₀- 4	274622₁₀- 5	431960₁₀- 6	460253₁₀- 3	-493962₁₀– 40
531197₁₀- 4	342122₁₀- 5	-422029₁₀- 6	429473₁₀- 3	-420026₁₀– 40
484047₁₀- 4	414388₁₀- 5	-140061₁₀- 5	401701₁₀- 3	-353592₁₀– 40
382099₁₀- 4	491557₁₀- 5	-251545₁₀- 5	377032₁₀- 3	-294114₁₀– 40
217889₁₀- 4	573665₁₀- 5	-377507₁₀- 5	355562₁₀- 3	-241351₁₀– 40
-164760₁₀- 4	660614₁₀- 5	-518319₁₀- 5	337302₁₀- 3	-195628₁₀– 40

5. Заключительным этапом работы является:

- Построение траектории и графиков изменения вдоль траектории.

- Нанесение на графики решения ОЗВБ тех же кривых, полученных с помощью основных или вспомогательных функций Сиаччи (для кривых )

- Сравнение результатов решения ОЗВБ с результатами на основе таблиц для функций Сиаччи.

7.7.Методы решения ОЗВБ.

7.7.1.Перечень методов.

7.7.1.1. Численные методы.

Достоинством численных методов является решения точных уравнений ОЗВБ при аргументах и использованием табличных, то есть экспериментальных, зависимостей и Недостатком является возможность только прямого решения ОЗВБ. При решении обратной задачи требуется интерполяции.

7.7.1.2. Аналитические методы.

Основаны на решении уравнения годографа, упрощенном в результате дополнительных допущений. Основной недостаток в том, что решается приближенное уравнение, хотя точным методом. Достоинство в том, что возможно как прямое, так и обратное решение ОЗВБ. Возможно определение элементов траектории без интерполирования уравнений по полученным аналитическим решениям.

7.7.1.3.Графические методы.

7.7.1.4. Табличные методы. Основаны на использовании таблиц «Артиллерийской академии» для эталонного снаряда Сиаччи или ГАУ для снаряда 1943 года.

7.7.2.Аналитические методы решения ОЗВБ.

7.7.2.1. Метод Эйлера.

Рассмотрим уравнение годографа скорости в предположении об однородности атмосферы.

Оно имеет вид (7.17)

(7.7.1)

Для функции сопротивления воздуха примем допущение

(7.7.2)

Тогда (7.7.1) перепишется

(7.7.3)

Обозначим и разделим переменные

Интегрируем от точки вылета до текущих значений, получим

(7.7.4)

Или

где

(7.7.5)

Умножаем на получим

(7.7.6)

Или

(7.7.7)

То есть

Таким образом, интегрируя уравнения годографа, получили зависимость в каждой точке траектории, заданной углом . Остальные элементы траектории получим подставив (7.7.7.) в оставшиеся уравнения системы (7.1.3) уравнений ОЗВБ с аргументом .

7.7.2.2. Метод Сиаччи. Основные функции Сиаччи.

Рассмотрим уравнения годографа скорости в виде (7.7.1), т.е. в предложении об однородности атмосферы

Будем рассматривать только траектории прицельной стрельбы, т.е. малые углы бросания . При этом можно считать, что высота траектории невелика и то есть Тогда уравнение годографа примет вид

(7.7.8)

Для функции сопротивления примем следующее упрощающее допущения

где

– постоянные коэффициенты, подобранные так, чтобы погрешность такой замены была небольшой.

Величина называется «псевдоскоростью». Подставив (7.7.9.) в (7.7.8), получим

(7.7.10)

В уравнение (7.7.10) нетрудно разделить переменные

(7.7.11)

Или, перехода к псевдоскорости

(7.7.12)

Если (7.7.12) нетрудно выписать в квадратурах. Введем так называемую «первую основную функцию Сиаччи»

(7.7.13)

Где - постоянная, выбирая из соображений удобства составления таблиц функций . Тогда (7.7.12) перепишется

(7.7.14)

Интегрируя уравнение (7.7.14) в пределах от точки бросания до текущей точки траектории получим

Или

(7.7.15)

Зависимость (7.7.15) задает угол как функцию псевдоскорости .

Перейдем к определению времени полета. Имеем уравнение

(7.7.16)

Перейдем к псевдоскорости и разделим

(7.7.17)

Воспользуемся (7.8.12), получим, т.к.

Или

(7.7.18)

Введем в рассмотрение «вторую основную функцию Сиаччи»

(7.7.19)

Где выбираемая из соображений удобства составления таблиц. Тогда (7.7.18) перепишется

(7.7.20)

Интегрируя (7.7.20) в пределах от точки бросания до текущего положения, получим

Или

(7.7.21)

Зависимость (7.7.21) задает время полета в функции от псевдоскорости . Перейдем к определению абсциссы снаряда . Воспользуемся вторым уравнением (7.13)

Или

(7.7.22)

Подставим (7.7.12) в (7.7.22), получим, переход к псевдосткорости

(7.7.23)

Введем «третью основную формула Сиаччи»

(7.7.24)

Где выбирается при табулировании Тогда (7.7.23) перепишется в виде уравнения

(7.7.25)

Интегрирую которое в пределах от точки вылета до текущей точки, получим

(7.7.26)

Т.е. зависимость абсциссы снаряда от его псевдоскорости.

Определим зависимость ординаты снаряда от его псевдоскорости. Исходим из уравнения 2 системы (7.12)

Т.е. (7.7.27)

Подставим из (7.7.15), получим

(7.7.28)

Или

Проинтегрируем в пределах от точки бросания до текущей точки

(7.7.29)

Заменим переменную в последнем интеграле (7.7.29) с помощью (7.7.23), получим

(7.7.30)

Введем «четвертую функцию Сиаччи»

(7.7.31)

Где выбираем при табулировании

Тогда (7.7.30) переписывается в виде

(7.7.32)

Или

(7.7.33)

Учитывая (7.7.26) и вынося за скобку, можно получить

(7.7.34),

Т.е. зависимость ординаты снаряда от псевдоскорости.

Формулы (7.7.15), (7.7.21), (7.7.26), (7.7.34) задают зависимости параметров траектории от псевдоскорости и позволяют рассчитать траекторию снаряда в следующей последовательности. Задавать из формулы (7.7.26) можно определить из «таблиц из основных функцией Сиаччи» можно определить (7.7.15), (7.7.21), (7.7.26) параметры траектории т.е.

Таблицы основных функций Сиаччи представлены в монографии Д.А.Венцель, Я.М.Шапиро «Внешняя баллистика», часть 3. Они имеют следующий вид.

7.7.2.3. Выбор коэффициентов в подстановке Сиаччи.

Рассмотрим подстановку Сиаччи

Удовлетворительная точность аналитического решения достигается при выборе

(7.7.35)

Рассмотрим соображения о целесообразности именно этих значений и .

На большей части траектории т.е. при этом

Т.е. псевдоскорость больше скорости.

А так как - возрастающая функция, то

То есть замена на приводит к некоторому завышению функции сопротивления, которое частично компенсируется умножением на множитель

7.7.2.4. Определение параметров траектории в точки падения «С» и в вершине «S».

Для определения параметров траектории с помощью основных функций Сиаччи имеем соотношение (7.7.15), (7.7.21), (7.7.26), (7.7.34), которое перепишем, учитывая (7.7.35) и

(7.7.36)

Получим соотношения

(7.7.37)

(7.7.38)

(7.7.39)

. (7.7.40)

Определим параметры в вершине «S» траектории. Учтем, что

т.е тогда из (7.7.37)

Или

(7.7.41)

Или

(7.7.42)

Определив по таблице определим а из формулы (7.7.38-7.7.40)

Определим параметры в точки падения «С».

Исходим из того, что подставим в (7.7.40), учитывая, что при Получим

После сокращения на X, получим

(7.7.43)

Из этого выражения можно найти но только методом последовательных приближений, подбирая так, чтобы первая часть равенства совпала с определив из (7.7.37-7.7.39) определим элементы точки падения

(7.7.44)

(7.7.45)

(7.7.46)

Для скорости падения получим

(7.7.47)

7.7.2.5. Вспомогательные функции Сиаччи.

Рассмотрим (7.7.39) и запишем его в виде

(7.7.48)

Отсюда следует, что есть функция двух переменных и . Следовательно, выражение в скобках в правой части (7.7.40) тоже есть функция двух переменных и , где - текущая абсцисса точки на траектории. Обозначим эту функцию

(7.7.49)

Тогда из (7.7.40) получим для точки падения при

(7.7.50)

Задаваясь аргументами можно составить таблицу функции с двумя входными . Использование этой таблицы может быть следующим: зная и , можно по (7.7.50) определить , а по и из таблиц определить второй аргумент , т.е

Кроме функции вводится в рассмотрение и другие функции аргументов , носящие название «вспомогательных функций Сиаччи». Они имеют следующий функциональный смысл

(7.7.51)

Для вспомогательных таблиц функции Сиаччи составлены таблицы следующего вида (см. Венцель и Шапиро том 3, Окунев Б.Н. том 3).

		…

…

Шаг по оси составляет от 50 м/с до 10 м/с.

Шаг по оси равен 500 м.

С помощью вспомогательных функций Сиаччи могут быть определены элементы в вершине траектории «S» и в точке падения «С».

В точке «С» получим , т.е.

(7.7.52)

Наличие двух формул для позволяет определить баллистический коэффициент С по результатам отстрелов, и по С определить коэффициент формы «i».

В точке вершины «S» получим

(7.7.53)

Вспомогательные функции Сиаччи получены основных функций расчетом. Таблицы вспомогательных функций менее точны, чем таблицы основных, и имеют более крупные шаги по аргументам. Поэтому для малых дальностей стрельбы пользоваться вспомогательными функциями не рекомендуется.

При определении параметров опорных точек должны быть заданы три величины из четырех При этом возможны 4 типа задач.

1 тип. Дано:

Схема решения задачи такова:

- Определяется

- По таблице по и определяется и после деления на получим ;

- По и определяем

- По формулам (7.7.52) - (7.7.53) определяем параметры опорных точек.

2 тип. Дано:

Схема решения задачи такова:

- Вычисляем ;

- По определяем ;

- Вычисляем по формуле

- На схеме 1 типа определяем требуемые параметры.

3 тип. Дано:

Схема решения задачи такова:

- Вычисляем ;

- Вычисляем

- По таблице по , определяем ;

- По схеме типа 1 определяем требуемые параметры.

4 тип. Дано:

Схема решения задачи такова:

- Вычисляем

- По таблице по и определяем и делением на определяем ;

- По схеме типа 1 определяем требуемые параметры.

В случае необходимости определяем

8.6. Силы и моменты, действующие на снаряд в атмосфере.

8.6.1. Положение оси снаряда относительно касательной к траектории центра масс.

При решении ОЗВБ снаряд рассматривался как вещественная точка, совпадающая с центром масс снаряда. При таком допущении, естественно, сила сопротивления воздуха была направлена строго по касательной к траектории против вектора скорости (рис.9.1.). Практика показывает, что истинное положение оси симметрии снаряда не совпадает с касательной к траектории центра масс. Ось симметрии снаряда составляет с касательной угол , называемый углом отклонения. Если ввести главную систему координат, приняв за первую координатную ось , и подчиненную систему координат, приняв за первую координатную ось - ось симметрии снаряда, то будет углом нутации, а плоскость – плоскостью нутации (рис.9.2). При правильном движении снаряда . Причинами появления угла могут быть:

- Несовпадение оси снаряда с осью канала ствола при движении снаряда в стволе.

- Воздействие со стороны ствола на снаряд в момент вылета снаряда.

- Возможная асимметрия обтекания снаряда пороховыми газами в период последействия.

Сила сопротивления воздуха не только не совпадает с касательной, но и не проходит через центр масс снаряда. Для современных артиллерийских снарядов можно считать, что точка пересечения силы сопротивления воздуха с осью снаряда (точка - центр давления, центр сопротивления), расположена между центром масс снаряда и вершиной снаряда. Угол , составляемый осью снаряда и силой сопротивления воздуха, по абсолютной величине больше угла отклонения .

Описанное расположение силы приводит к тому, что она не только сообщает отрицательное ускорение центру масс снаряда, но и стремится повернуть снаряд вокруг экваториальной оси, проходящей через центр масс снаряда, т.е. опрокинуть снаряд. Из этих рассуждений следует, что стрельба продолговатыми снарядами без специальных мер по обеспечению правильности полета невозможна, т.к. полет будет сопровождаться «кувырканием» снаряда, дальность будет мала, а рассеивание велико.

Компенсация опрокидывающего действия силы сопротивления воздуха обычно осуществляется одним из двух способов:

- Снаряду сообщается быстрое вращение вокруг оси симметрии, т.е. снаряд превращается в гироскоп, обладающий свойством устойчивости оси вращения и оказывающий большое сопротивление силам, стремящимся изменить положение его оси;

- Центр сопротивления снаряда смещается назад, в том числе и за центр масс, снабжая снаряд хвостовым оперением (мины, авиабомбы, реактивные снаряды).

Бывают снаряды сочетающие вращение и хвостовое оперение (например, снаряды РСЗО). Следует отличать понятия «правильности полета снаряда» и «гироскопической устойчивости» снаряда.

Правильность полета снаряда называется способность снаряда следовать траектории, следить за касательной к ней, т.е. способность снаряда двигаться с малым углом отклонения . Такой снаряд называют послушным.

Гироскопическая устойчивость снаряда – способность снаряда двигаться сохраняя первоначальное положение от вращения.

Абсолютно гироскопически устойчивый снаряд – непослушный. Движение такого снаряда изображено на рис.8.6.3.

8.6.2.Силы и моменты, действующие на снаряд в атмосфере.

Силы, действующие на снаряд в атмосфере, сводятся к двум – силе тяжести и силе сопротивления воздуха . В зависимости от факторов, порождающих различные составляющие силы , эти составляющие могут быть разбиты на группы. В целом, все силы действующие на снаряд, разобьем на 3 группы.

Первая группа включает только силу тяжести . Сила приложена к центру масс снаряда и не влияет на движение снаряда относительно центра масс. Действие силы в полной мере учтено при решении ОЗВБ.

Вторая группа состоит из сил аэродинамического сопротивления, зависящих от положения оси снаряда относительно касательной к траектории.

Третья группа состоит из сил аэродинамического сопротивления, зависящих от движения оси снаряда относительно центра масс (как правило колебательного) и от вращения снаряда вокруг своей оси.

8.6.2.1. Силы сопротивления, зависящие от положения оси снаряда относительно касательной к траектории.

Эти силы и моменты зависят от величины и положения вектора силы сопротивления воздуха . При рассмотрении этих сил примем следующие допущения:

1) Снаряд – симметричное, как геометрически так и динамически, тело вращение. Главная ось эллипсоида инерции совпадает с осью снаряда и являются его осью собственного вращения.

2) Сила сопротивления пересекает ось снаряда в точке между центром масс и вершиной снаряда.

3) Сила , ось снаряда и касательная к траектории центра масс летят в одной плоскости. Эту плоскость называют плоскостью действия силы сопротивления воздуха, или плоскостью нутации.

Приведем силу сопротивления воздуха к центру масс снаряда. Для этого (см. рис.9.4) приложим в точке уравновешенную систему сил таких, что

Тогда система сил эквивалентна системе . Последняя состоит из силы приложенной к центру масс и влияющей только на движение центра масс и пары сил Эта пара сил называется опрокидывающей парой. Её момент называется опрокидывающим моментом .

Силу разложим на касательную и нормальную составляющие

(8.6.1)

расположенные в плоскости действия опрокидывающей пары. Касательная составляющая в условиях рассматриваемого движения играет ту же роль, что и сила лобового сопротивления в ОЗВБ.

Нормальная составляющая стремиться отклонить центр масс снаряда от той траектории, которую имел центр масс в ОЗВБ. Она отклоняет центр масс снаряда в ту сторону, куда отклоняется головная часть снаряда (ось ). Наличие составляющей имеет двоякое значение:

- во – первых, изменяет движение центра масс снаряда.

- во – вторых, обусловлена вращательным движением снаряда, точнее, наличием угла . Таким образом через устанавливается связь между вращательным движением снаряда и его поступательным движением, точнее, влияние вращательного движения на поступательное. При правильном движении снаряда мала по сравнению с .

Рассмотрим влияние угла на , , . Будем рассматривать правильное движение снаряда полагая

При касательная составляющая идентична полной аэродинамической силе , которая в этом случае есть сила лобового сопротивления, а нормальная составляющая и опрокидывающий момент обращается в ноль.

При разложим в ряд Тейлора в окрестности точки

(8.6.2)

Учтем, что рад рад; Отбросим слагаемые (8.6.2), содержащие и более высокие степени и учитывая, что

Учтем, что величина касательной составляющей зависит только от модуля угла и не зависит от его знака, т.е. - четная функция угла .(рис.8.6.2)

Учитывая это окончательно получим

(8.6.4)

Т.е. при малых , т.е. при правильном полете снаряда величина касательной составляющей не зависит от угла нутации и равна полной силе лобового сопротивления воздуха (с точностью ); нормальная составляющая и опрокидывающий момент пропорциональным углу нутации .

Исходя из (8.6.4) сохраним для зависимость, введенную в ОЗВБ для

(8.6.5)

Для и построим аналогичные зависимости, учитывая при этом, что пропорционально площади осевого сечения снаряда а пропорционально произведению на плечо опрокидывающей пары, которое определяется расстоянием между центром масс и центром давления (см. рис.8.6.4),

(8.6.6)

(8.6.7)

Входящие в формулы (8.6.5), (8.6.6), (8.6.7) функции сопротивления выражают зависимость от числа маха и определяются экспериментально. Включение в формулы (8.6.5) - (8.6.7) множителей задающих характерные размеры снаряда, позволяет для группы подобных по форме и различных по размерам снарядов получить близкие по характеру функции . В пределах этих группах могут быть выбраны эталонные снаряда и отличия их функций сопротивления от эталонных учтены с помощью коэффициентов формы которые при хорошем выборе эталонного снаряда должны быть поставлены при движении снаряда вдоль траектории.

(8.6.8)

В дальнейшем индексы «эт» в (8.6.5-8.6.7) будем опускать. Характер зависимостей , , от числа маха для каждой функции свой. На рис.8.6.6 представлены функции сопротивления для 76 мм снаряда (см. Венцель Д.А., Шапиро А.М., часть 2, стр.110,1939г.). По характеру изменения близко , а резко отличается от них; больше , в 5-10 раз.

Для определения величины обычно пользуются эмпирического формулами, такими как

- Формула морского полигона (Годдара)

где смысл указан на рис.(8.6.7)

Для конкретной формулы для строятся свои зависимости для функции , т.е тоже носит характер эмпирического параметра согласования.

Выражение (8.6.7) можно переписывать в виде

где – экваториальный момент инерции снаряда;

(8.6.10)

Если считать, что направлена параллельно касательной к траектории , т.е. пренебречь по сравнению с , считать в точности равной расстоянию от центра масс до центра давления , то можно считать, что при немалых

или

(8.6.11),

где и те же, что и в (8.6.10).

В заключение отметим, что допущение о независимости силы от угла и от пропорциональности и углу от 0 до может приводить к изменению на 50-100%.

8.6.2.2 Силы сопротивления, зависящие от движения от снаряда относительно центра масс и от вращения снаряда вокруг своей оси.

Рассмотрим вращательное движение снаряда вокруг оси центра масс . Угловая скорость снаряда может быть разложена на составляющие вдоль осей координат

Тогда (8.6.13)

Причем - составляющая угловой скорости, лежащая на оси снаряда ;

– угловая скорость вращения оси вокруг центра масс .

В итоге (8.6.14)

Вследствие вращательного движения снаряда вокруг центра масс из – за сопротивления воздуха возникают два крутящих момента.

Осевой крутящий момент, или момент трения является следствием трения боковой поверхности снаряда о воздух в результате собственного вращения,

Величина поверхности снаряда скорости точки на поверхности снаряда во вращательном движении вокруг оси пропорционально , плечу момента пропорциональному . Кроме того момент пропорционален скорости набегающего потока. Поэтому для принимается выражение

(8.6.15)

Где - функция сопротивления осевого тушащего момента эталонного снаряда, а коэффициент формы

В дальнейшем индекс «эт» в (8.6.15) опускаем.

Экваториальный тушащий момент является следствием движения оси снаряда (как правило колебательного) вокруг точки с угловой скоростью ,

Величина пропорциональна площади осевого сечения снаряда , скорости точки снаряда в ее вращательном движении вместе с осью вокруг точки пропорциональной , плечу момента пропорциональному , скорости набегающего потока воздуха . Поэтому для принимается выражение

(8.6.16)

где - функция сопротивления экваториального тушащего момента эталонного снаряда, а коэффициент формы

Индекс «эт» в (8.6.16) далее опускаем.

Для удобства записи обычно вводятся обозначения

;

; (8.6.17)

Где – актальный момент инерции снаряда ;

– экваториальный момент инерции

С учетом (8.6.17) можно записать

(8.6.18)

Где – свои для данного снаряда.

Сравнивая величины определяющие вращательное движение снаряда легко убедится, что определяющую роль играет опрокидывающий момент. Так для мм пушки при при характеристиках на начальном участке траектории и получим кГм; кГм; кГм.

Приблизительно можно считать

Кроме двух тушащих моментов, вращение снаряда вокруг оси при наличии угла отклонения приводит к появлению силы Магнуса и ее момента .

Рассмотрим возникновение силы Магнуса (см.рис.8.6.9). Пусть цилиндр вращается в набегающем на него потоке вязкой жидкости. Вследствие того, что прилегающие к цилиндру слои жидкости увлекаются цилиндром, в результате взаимодействия этих слоев с набегающим потоком, на части поверхности цилиндра движущейся навстречу набегающему потоку возникают уплотнение жидкости – разрежение. В результате появляется сила, действующая на цилиндр в сторону разрешения.

При набегании потока воздуха на вращающийся снаряд, ось которого составляет угол с потоком, роль скорости в набегающем потоке в предыдущем примере играет поперечная составляющая скорости (рис.6.10).

При обтекание снаряда симметрию и сила Магнуса не появляется.

Величина пропорциональна скорости точек поверхности снаряда, обусловленной собственным вращением , углу при малых , а так же поверхности снаряда и скорости потока

(8.6.19)

Сила Магнуса при направлена влево от плоскости опрокидывающей пары , если посмотреть на снаряд сзади.

Если же , то сила направлена вправо от плоскости опрокидывающей пары. Таким образом, направление силы Магнуса противоположно вектору опрокидывающего момента

Так как точка приложения силы Магнуса не совпадает с центром масс , то после приведения к центру масс, возникает момент силы Магнуса . Поскольку плечо силы Магнуса относительно центра масс неизвестно, то в выражение вместо плеча силы Магнуса от калибра учитываются функцией сопротивления ,

(8.6.20)

Вектор момента силы Магнуса лежит в плоскости действия опрокидывающей пары и перпендикулярно оси снаряда. Направление вектора зависит от положения точки приложения относительно центра масс. Она может располагаются как между центром масс и вершиной снаряда, так и между центром масс и дном.

Влияние и на движение снаряда считается малым и обычно не учитывается. Относительно функций сопротивления известно немного.