Решение краевой задачи для линейного
, , .
, .
Оценка погрешности.Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге. Так как метод Рунге – Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. , то оценка погрешности примет вид: .
Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение . Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: .
Приближенным решением будут значения .
Пример 4.Методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке следующей задачи Коши .
Возьмем шаг . Тогда .
Расчетные формулы имеют вид:
, , ,
Задача имеет точное решение: , поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями .
Найденные приближенные значения решения и их погрешности представлены в таблице 9.
Таблица 9
0,6 | 1,43333 | ||||
0,1 | 1,01005 | 10-9 | 0,7 | 1,63232 | |
0,2 | 1,04081 | 0,8 | 1,89648 | ||
0,3 | 1,09417 | 0,9 | 2,2479 | ||
0,4 | 1,17351 | 2,71827 | |||
0,5 | 1,28403 |