Метод Эйлера

Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера. Будем решать задачу Коши

на отрезке . Выберем шаг и построим сетку с системой узлов . В методе Эйлера вычисляются приближенные значения функции в узлах сетки: . Заменив производную конечными разностями на отрезках , , получим приближенное равенство: , , которое можно переписать так: , .

Эти формулы и начальное условие являются расчетными формулами метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в том, что решение на отрезке заменяется касательной , проведенной в точке к интегральной кривой, проходящей через эту точку. После выполнения шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией (ломаной Эйлера).

Оценка погрешности.Для оценки погрешности метода Эйлера воспользуемся следующей теоремой.

Теорема.Пусть функция удовлетворяет условиям:

.

Тогда для метода Эйлера справедлива следующая оценка погрешности: , где – длина отрезка . Мы видим, что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Оценка погрешности метода Эйлера часто бывает затруднительна, так как требует вычисления производных функции . Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (правило двойного пересчета), которое используется для различных одношаговых методов, имеющих -ый порядок точности. Правило Рунге заключается в следующем. Пусть – приближения, полученные с шагом , а – приближения, полученные с шагом . Тогда справедливо приближенное равенство:

.

Таким образом, чтобы оценить погрешность одношагового метода с шагом , нужно найти то же решение с шагом и вычислить величину, стоящую справа в последней формуле, т .е. . Так как метод Эйлера имеет первый порядок точности, т. е. , то приближенное равенство имеет вид: .

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши с заданной точностью . Для этого нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение , . Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: . Для метода Эйлера это условие примет вид: . Приближенным решением будут значения , .

Пример 1.Найдем решение на отрезке следующей задачи Коши: , . Возьмем шаг . Тогда .

Расчетная формула метода Эйлера имеет вид:

 

, .

 

Решение представим в виде таблицы 5:

 

Таблица 5

		0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
	1,0000	1,2000	1,3733	1,5294	1,6786	1,8237

Исходное уравнение есть уравнение Бернулли. Его решение можно найти в явном виде: .

 

Для сравнения точного и приближенного решений представим точное решение в виде таблицы 6:

Таблица 6

		0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
	1,0000	1,1832	1,3416	1,4832	1,6124	1,7320

 

Из таблицы видно, что погрешность составляет

.