Методы интегрирования

Таблица основных формул интегрирования

Доказательство.

(мы положили

Для практического использования неопределённых интегралов кроме сформулированных свойств необходима таблица неопределенных интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Формулы 10 – 13 будем в дальнейшем называть интегралами «группы четырёх».

Приведённая таблица получается непосредственно из таблицы производных с использованием правил дифференцирования.

Покажем на нескольких примерах справедливость представленных формул.

1⁰. Для доказательства этой формулы вычислим производную правой части.

Мы получили подынтегральную функцию, что и доказывает формулу 5.

2⁰.

Найдем производную от правой части.

Получена подынтегральная функция, и формула 11 доказана.

3⁰.

Продифференцируем правую часть.

===

=

=,

то есть получили подынтегральную функцию.

Покажем вычисление производной первого логарифма. Т.к. под знаком логарифма стоит модуль разности, следует рассмотреть два случая.

1⁰. В этом случае имеем:

2⁰. Здесь получаем:

В обоих случаях мы получили один и тот же результат.

Аналогично можно показать, что при дифференцировании второго логарифма будет получен результат

Интегрирование – операция значительно более сложная, чем операция дифференцирования. Поэтому построены различные методы вычисления интегралов, с которыми мы познакомимся в ближайших лекциях.