ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Прямая

Интервал

Отрезок

ПРОМЕЖУТКИ

Свойства модуля

МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

П.2. Расширение множества действительных чисел

Определение 2.1. Если множество R (действительных чисел) дополнить символами + и – , и ввести операции «сложения», «умножения», отношение порядка следующим образом:

1. выполняется неравенство – <x<+ .

2.

3.

4. Если x>0, то ; если x<0, то .

5. ;

 

6. Операции неопределенны.

Тогда полученное множество называется расширенным множеством действительных чисел и обозначается или .

 

 

Определение 3.1. Модуль (абсолютная величина) действительного числа х обозначается | х| и определяется следующим образом:

 

Модуль числа х равен расстоянию от точки х до начала отсчёта 0.

Для любого действительного числа х выполняются следующие неравенства и равенства:

1^о.

Доказательство.

 

 

2^о. Пусть а>0, тогда

Доказательство.

 

3^о. Пусть а>0, тогда

4^о.

Доказательство.

 

5^о.

Доказательство.

 

 

6^о.

7^о.

Доказательство 6^о и 7^о вытекает из правил умножения и деления действительных чисел и Опр.3.1.

 

 

Определение 4.1. Пусть a,b – действительные числа, причём a<b. Промежутком (числовым промежутком) называется каждое из следующих множеств

полуинтервал или

полупрямая (луч) или

открытая полупрямая (открытый луч) или

Множество [a;b] называется отрезком с началом a и концом b; (a;b) – интервалом с началом a и концом b; [a;b), (a;b] – полуинтервалом с началом a и концом b; любое число х (a<x<b) называется внутренней точкой этих промежутков.

Множества называются бесконечными промежутками.

Изобразим эти множества на числовой прямой:

 

[a;b]

[a;a]

(a;b)

[a;b)

(a;b]

 

 

 

 

 

Определение 4.2. Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий точку а.

Геометрически окрестность изображают следующим образом:

 

Определение 4.3. Пусть . -окрестностью точки а называется интервал (а – ; а + ), т.е. множество всех действительных х, удовлетворяющих неравенству |х – а|< . При этом число называется радиусом окрестности, а точка а – центром окрестности. Обозначают U(a; ).

Геометрически -окрестность изображают следующим образом:

 

 

Определение 4.4. Пусть . Выколотой -окрестностью точки а называется интервал (а – ; а + ) без точки а, т.е. множество всех действительных х, удовлетворяющих неравенству 0<|х – а|< . Обозначают

Геометрически изображают следующим образом:

 

 

Пример.Построить на координатной прямой U(2; 0,5)

 

 

В этом параграфе будем рассматривать только числовые множества и кратко будем называть их «множества».

Определение 5.1.Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число M (m), что ( ). Число M (m), называется верхней (нижней) границей множества Х.

Пример 5.1.Найти верхнюю и нижнюю границы множеств:

 

Определение 5.2.Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и m , что . В противном случае оно называется неограниченным.

Это определение равносильно следующему

Определение 5.3.Множество Х называется ограниченным, если существует такое число M >0, что . Множество Х называется неограниченным, если для любого числа M >0 существует такое число , что .

Определение 5.4.Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) границ ограниченного сверху (снизу) множества Х называется верхней (нижней) гранью множества Х и обозначается sup X (inf X), читается supremum (infimum).