Экстремум функции двух переменных. Основные понятия

Учебные вопросы

Учебные вопросы и расчет времени

Учебные и воспитательные цели

1. Изучить основные понятия экстремума функции двух переменных, сформулировать необходимые и достаточные условия экстремума.

2. Развивать математическое и логическое мышление, повышать математическую культуру.

I. Введение _________________________________________ 3 мин

II. Основная часть___________________________________ 85 мин

1. Экстремум функции двух переменных. Основные понятия 20 мин

2. Необходимые и достаточные условия экстремумов ______ 30 мин

3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой

области ____________________________________________ 35 мин

III. Заключение _______________________________________ 2 мин

При изучении различных процессов, протекающих в природе, мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух переменных величин. Поэтому в изучаемых процессах фактически надо изучать совместное изменение нескольких переменных. Мы говорили, что такие процессы описываются с помощью функций нескольких переменных. Очень часто на практике приходится решать задачи на нахождение глобальных или локальных экстремумов. Как это делается для функции одной переменной, мы уже знаем. Сегодня вы научитесь решать такие задачи для функции.

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой области D, точка

Точка z = f(x,y), называется точкой максимума функции z = f(x,y), если существует такая d-окрестность точки , что для каждой точки (х, у), отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство .

Рис. 1

На рис. 1 N₁ – точка максимума, N₂ – точка минимума функции z = f(x,y),

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют её экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер; значение функции в точке сравнивается с её значениями в точках, достаточно близких к . В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.