Дифференцирование неявной функции

Функция называется неявной, если она задается уравнением

 

, (11)

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравнением (11). Для этого, подставив в уравнением вместо z функцию получим тождество . Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

(12)

Замечания.

а) Уравнение вида (11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение определяет функции и , определенные в круге , и определенную в полукруге при и т. д., а уравнение не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных:

если функция и её производные и , определены и непрерывны в некоторой окрестности точки , причем , а , то существует окрестность точки М0, в которой уравнение (11) определяет единственную функцию , непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки и такую, что .

б) Неявная функция одной переменной задается уравнением . Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

.

Пример 4.1. Найти частные производные функции z, заданной уравнением

Решение. Здесь , По формулам (12) имеем:

 

Пример 4.2. Найти если неявная функция задана уравнением

Решение. Здесь Следовательно,

Если поверхность S задана уравнением , то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции

 

 

(см. формулы (12)), примут соответственно вид

и