Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Учебные вопросы

Учебные вопросы и расчет времени

Учебные и воспитательные цели

1. Изучить основные понятия дифференцируемости и полного дифференциала функции нескольких переменных, ввести понятия частных производных высших порядков и дифференциалов высших порядков, рассмотреть вопрос дифференцирования сложных и неявных функций.

2. Развивать математическое и логическое мышление, повышать математическую культуру.

I. Введение 3 мин

II. Основная часть85 мин

1. Дифференцируемость и полный дифференциал функции 30 мин

2. Частные производные и дифференциалы высших порядков 20 мин

3. Производная сложной функции 15 мин

4. Дифференцирование неявной функции 20 мин

III. Заключение 2 мин

 

Введение

Функции одной переменной не охватывают все зависимости, существую-щие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функцио-нальной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных. Введем для функции нескольких переменных понятия, которые аналогичны понятиям функции одной переменной: производная, дифференцируемость, частные производные высших порядков, правила дифференцирования сложных функций и функций, заданных неявно.

 

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Составим полное приращение функции в точке М:

 

 

Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке можно представить в виде

 

(1)

 

где и при , . Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции..

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом :

(2)

 

Выражения и называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают и . Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

 

(3)

 

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке М(х,у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и , причем

Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (1). Отсюда вытекает, что Это означает, что функция непрерывна в точке М. Положив в равенстве (1), получим: Отсюда находим Переходя к пределу при , получим т. е. Таким образом, в точке М существует частная производная Аналогично показывается, что в точке М существует частная производная

Равенство (1) можно записать в виде

 

(4)

 

где при , .

Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функция не дифференцируема в точке (0;0).

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (3) принимает вид:

 

(5)

или

 

где – частные дифференциалы функции .

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции).Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке М(х, у), то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой (5).

Примем теорему без доказательств.

Отметим, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием её дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциала функции двух (и большего числа) переменных.

Из определения дифференциала функции следует, что при достаточно малых и имеет место приближенное равенство

 

. (6)

 

Так как полное приращение равенство (6) можно переписать в следующем виде:

 

(7)

 

Формулой (7) пользуются в приближенных расчетах.

Пример 1.1. Вычислить приближенно 1,02^3,01 .

Решение. Рассмотрим функцию Тогда 1,02^3,01 = (х+Dх)^у+Dу, где х =1, Dх = 0,02, у = 3, Dу = 0,01. Воспользуемся формулой (7), предварительно найдя : Следовательно,

1,02^3,01 = 1³ +3×1^3-1 ×0,02 + 1³×ln1×0,01, т. е. 1,02^3,01 » 1,06.

 

Доля сравнения: используя микрокалькулятор, находим 1,02^3,01 » 1,061418168.

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.