Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

(1)

где (т. е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бернулли).

 

Теорема 1 (признак Лейбница).Знакочередующийся ряд (1) сходится, если:

1). Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е.

2). Общий член ряда стремится к нулю: При этом сумма S ряда (1) удовлетворяет неравенствам

(2)

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа членов ряда (1). Имеем

.

Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера .

С другой стороны, можно переписать так:

.

Легко видеть, что Таким образом, последовательность …,… возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел причем

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа членов ряда (1). Очевидно, что Отсюда следует, что

т. к. в силу второго условия теоремы.

Вывод:Итак, как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд (1) сходится, причем

Замечания.

1. Исследование знакочередующегося ряда вида

(3)

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (1).

2. Соотношение (2) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой S_n. Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е. . Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Ряды (1) и (3), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

Пример 1. Вычислить приблизительную сумму ряда

Решение. Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать: Взяв пять членов, т. е. заменив S на

сделаем ошибку, меньшую, чем Итак,