Признаки сравнения рядов

Необходимы признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда в многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков.

Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т. е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умножения его на (–1), что, как известно, не влияет на сходимость ряда).

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть даны два знакоположительных ряда

(1)

и

(2)

Если для всех n выполняется неравенство

, (3)

то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Обозначим n-е частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно через и . Из неравенства (3) следует, что

. (4)

Пусть ряд (2) сходится и его сумма равна S₂. Тогда . Члены ряда (2) положительны, поэтому и, следовательно, с учетом неравенства (4), . Таким образом, последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху числом S₂. По признаку существования предела последовательность имеет предел , т. е. ряд (1) сходится.

Пусть теперь ряд (1) расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем . Тогда, с учетом неравенства (4), получаем , т. е. ряд (2) расходится.

Замечание. Теорема 1 справедлива и в том случае, когда неравенство (3) выполняется не для всех членов ряда (1) и (2), а начиная с некоторого номера N. Это вытекает из свойства 3 числовых рядов.

Теорема 2 (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, отличный от 0, предел то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

По определению предела последовательности для всех n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого выполняется неравенство , или

. (5)

Если ряд (1) сходится, то из левого равенства (5) и теоремы 1 вытекает, что ряд также сходится. Но тогда, согласно свойству 1 числовых рядов, ряд (2) расходится.

Если ряд (1) расходится, то из правого неравенства (5), теоремы 1, свойства 1 вытекает, что и ряд (2) расходится.

Аналогично, если ряд (2) сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд (1).

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение: Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии который сходится . Имеем Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение: Здесь . Возьмем ряд с общим членом , который расходится (гармонический ряд). Имеем . Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение: Применим предельный признак сравнения. Так как ,

То по теореме 2 исходный ряд расходится, как сравнимый с гармоническим рядом.