Напруження
Мірою інтенсивності внутрішніх сил, розподілених по перетинах, служать напруги - зусилля, що доводяться на одиницю площі перетину. Виділимо в околиці крапки В малу площадку ΔF (рис. 1.1). Нехай ΔR - рівнодіюча внутрішніх сил, що діють на цю площадку. Тоді середнє значення внутрішніх сил, що доводяться на одиницю площі ΔF розглянутої площадки, буде дорівнювати: 
Рис. 1.1 Середня напруга на площадці
Величина рm називається середньою напругою. Вона характеризує середню інтенсивність внутрішніх сил. Зменшуючи розміри площі, у межі одержимо: 
Величина р називається істинною напругою або просто напругою у даній точці даного перетину.
Одиниця напруги - паскаль, 1 Па = 1 Н/м2. Тому що реальні значення напруг будуть виражатися дуже великими числами, то варто застосовувати кратні значення одиниць, наприклад МПа (мегапаскаль) 1 МПа = 106 Н/м2.
Напруги, як і сили, є векторними величинами. У кожній точці перетину тіла повну напругу р можна розкласти на дві складаючи (рис. 1.2):
1) складова, нормальна до площини перетину. Ця складова називається нормальноюнапругою й позначається σ;
2) складова, що лежить у площині перетину. Ця складова називається дотичнимнапруженням іпозначається τ. Дотичне напруження залежно від діючих сил може мати будь-який напрямок в площині перетину. Для зручності τ представляють у вигляді двох складаючи у напрямку координатних осей. Прийняті позначення напруг показані ні рис. 1.2
У нормальної напруги ставиться індекс, що вказує якій координатних осей паралельна дана напруга. Нормальна напруга, що розтягує тіло, вважається позитивною, стискаюча - негативною. Позначення дотичних напружень мають два індекси: перший з них указує, якої осі паралельна нормаль до площадки дії даної напруги, а другий - якої осі паралельна сама напруга. Розкладання повної напруги на нормальну і дотичну має певний фізичний зміст. Нормальна напруга виникає, коли частки матеріалу прагнуть віддалитися друг від друга або, навпаки, зблизитися. Дотичні напруження зв'язані зі зрушенням часток матеріалу по площині перетину.
|
Рис. 1.2. Розкладання вектора повної напруги
Якщо подумки вирізати навколо якої-небудь точки тіла елемент у вигляді нескінченно малого кубика, то по його гранях у загальному випадку будуть діяти напруги, представлені на рис. 1.3. Сукупність напруг на всіх елементарних площадках, які можна провести через яку-небудь точку тіла називається напруженим станом в даній точці.
Обчислимо суму моментів всіх елементарних сил, що діють на елемент (рис.1.12) відносно координатних осей, так, наприклад, для осі х з урахуванням рівноваги елемента, маємо:
Повторюючи зазначені дії для інших осей, одержимо закон парності дотичних напружень:
який формулюється в такий спосіб: складаючи дотичних напруг на двох взаємно перпендикулярних площадках, перпендикулярні загальному ребру, рівні по величині й протилежні за знаком, тобто або обидві спрямовані до ребра або обидві спрямовані від ребра.
Рис.1.3. Система напруг в точці
4. Гіпотези та припущення щодо властивостей та характеру деформацій.
Реальні матеріали мають різноманітні фізичні властивості й
характерну для кожного з них структуру. З метою спрощення розрахунків в опорі матеріалів використовуються наступні допущенняпро властивості матеріалу.
Матеріал вважається однорідним, тобто його властивості у всіх точках однакові.
Матеріал вважається ізотропним, тобто його властивості в усіх напрямках однакові.
Ізотропними є аморфні матеріали, такі як скло й смоли. Анізотропними є пластмаси, текстоліт і т.п. Метали є полікристалічними тілами, що складаються з великої кількості зерен, розміри яких дуже малі (порядку 0,01 мм). Кожне зерно є анізотропним, але внаслідок малих розмірів зерен і без порядного їх розташування метали проявляють властивість ізотропії.
Матеріал має властивість ідеальної пружності, внаслідок якого тіло, що деформується, повністю відновлює свою форму й розміри після зняття навантаження незалежно від величин навантажень і температури тіла.
Форма й розміри пружного тіла міняються прямо пропорційно зміні навантажень, тобто по відомому законуГука (1660 р.). У випадку чистого однорідного розтягання або стиску призматичного стрижня, законГука має вигляд: 
де Р - розтягуюча (стискаюча) осьова сила;
l0, F0 - вихідна довжина й вихідна площа поперечного перерізу стрижня;
Е - фізична константа матеріалу - модуль поздовжньої пружності, різний для різних матеріалів;
Δl- абсолютне подовження розрахункової частини l0 стрижнята
У формулюванні даної гіпотези границі застосування закону пропорційності Гука нічим не обмовляються, хоча в дійсності при деяких навантаженнях починається істотне відхилення від закону пропорційності.
У межах пружності має місце ефект Пуассона (1816 р.) - відношення відносних поперечних подовжень ε’ до відносних поздовжніх подовжень ε є величина постійна для даного матеріалу:
або 
де μ- коефіцієнтПуассона - пружна константа матеріалів (0<μ<0.5).
Матеріал має властивість суцільності, тобто має здатність суцільно (без порожнеч) заповнювати простір, обмежений поверхнею тіла. Внаслідок цього матеріал уважається безперервним, що дозволяє використовувати для визначення напруг і деформацій математичний апарат диференціального й інтегрального вирахування.
Пружні тіла є відносно твердими, завдяки чому переміщення точок тіла досить малі в порівнянні з розмірами самого тіла. Ця гіпотеза служить підставою для принципу початкових розмірів.
5. Пружні та пластичні деформації.
Під дією зовнішніх сил всі тверді тіла деформуються, тобто змінюють свою форму чи об’єм. Тіла, в яких після припинення дії зовнішніх сил деформація повністю зникає, називають абсолютно пружними, а саму деформацію - пружною. Тіла, що не відновлюють свою форму після припинення дії сили, називають не пружними або пластичними; їх деформацію теж називають не пружною, пластичною. Граничним випадком непружної деформації є абсолютно непружна деформація.
Розрізняють слідуючи види пружних деформацій: розтяг, стиск, зсув, згин, кручення. До основних видів належать розтяг (стиск) і зсув.
Для пружних деформацій виконується закон Гука: при будь-якій малій деформації сила пружності пропорційна величині деформації ,або: малі деформації тіла пропорційні прикладеним силам.
Пласти́чна деформа́ція — деформація, що супроводжується незворотними змінами форми й розмірів тіла під навантаженням без порушення його суцільності.
В залежності від здатності зазнавати пластичної деформації матеріали поділяються на пластичні й крихкі.
Величина пластичної деформації часто залежить від часу, протягом якого тіло перебуває під навантаженням. Властивість пластичної деформації збільшуватися з часом називається повзучістю.
Питання для самоперевірки:
1. Які основні завдання науки про опір матеріалів?
2. Що називається міцністю, твердістю й стійкістю елемента
конструкції?
3. Як класифікуються навантаження, що діють на спорудження?
4. Сформулюйте основні гіпотези й допущення, прийняті в
опорі матеріалів.
Питання для самостійного вивчення:
1. Пружні та пластичні деформації.
Література:
1. Михайлов А.М. Сопротивление материалов. М.: Стройиздат, 1989. Стр. 3-25.
2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов: Учеб. для технич. вузов – М.: Высш. шк., 1989. Стр. 4-18.
ЛЕКЦІЯ № 8
Тема 2.2.Розтяг і стиск
План лекції
1. Розтяг і стиск. Поздовжні сили і нормальні напруження в поперечних перерізах. Метод РОЗУ.
2. Епюри поздовжніх сил та нормальних напружень при розтягу (стиску).
3. Поздовжні і поперечні деформації. Закон Гуку.
С/Р 4. Діаграми розтягу.
С/Р 5. Механічні характеристики матеріалів.
1. Розтяг і стиск. Поздовжні сили і нормальні напруження в поперечних перерізах. Метод РВЗВ (РОЗУ).
Розтяганням (стиском) називається такий вид деформації при якому у будь-якому поперечному перерізі бруса виникає тільки подовжня сила. Бруси з прямолінійною віссю(прямі бруси) працюючі на розтягування або стискування називають стержнями.
Поздовжня сила - внутрішнє зусилля, дорівнює сумі проекцій усіх зовнішніх сил, узятих з одного боку від перерізу, на вісь стержня. Приймемо наступне правило знаків для подовжньої сили: розтягуюча подовжня сила позитивна, що стискає – негативна.
Розглянемо випадок осьового (центрального) розтягання або стиску, коли зовнішні сили діють по осі стрижня. Для визначення внутрішніх зусиль (поздовжніх сил) застосуємо метод перерізів.
Безпосередньою причиною руйнування є внутрішні зусилля, які виникають в стрижні при дії заданих навантажень.
Величини внутрішніх зусиль визначаються методом перерізів, який
називають також методом РВЗВ (за першими буквами слів):
- Розсікаємо (у думках) стрижень за перерізом А, в якому слід ви-
значити величину внутрішніх зусиль. Зазвичай стрижень розсіка-
ють площиною перпендикулярною до осі стрижня.
- Відкидаємояку-небудь частину стрижня (зазвичай ту, до якої при-
кладено більше сил).
- Заміняємосили, що діють на частину, яка залишилася, головним
вектором R і головним моментом M .
- Врівноважуємо частину, що залишилася, оскільки до розрізу стрижня вона знаходилася в рівновазі.
Спроектувавши головний вектор і головний момент внутрішніх сил на осі x, y, z, одержимо шість внутрішніх силових факторів - три сили (N, Qx, Qy) і три моменти (Mx, My, Mz). Ці величини називають внутрішніми зусиллями в перерізі стрижня, для яких прийняті наступні назви:
N – подовжня сила;
Qx, Qy – поперечні сили;
Mx, My – згинальні моменти;
Mz – крутний момент (іноді позначають Mкр).
Цим чотирьом видам внутрішніх зусиль відповідають чотири види
деформації стрижня:
1 Розтягування (або стискання), при якому в поперечних перерізах
виникає тільки подовжня сила N.
2 Зсув, при якому в поперечних перерізах виникає тільки поперечна
сила Qх (або Qy).
3 Згинання, при якому в поперечних перерізах виникає тільки Мх або
My (чисте згинання ). Якщо в поперечних перерізах виникає і поперечна
сила Q, то такий вид згинання називається поперечним.
4 Кручення, при якому в поперечних перерізах виникає тільки крутний момент Mz : Mz = Мкр.
2. Епюри поздовжніх сил та нормальних напружень при розтягу (стиску).
Епюра - це графічне зображення закону зміни деякої величини залежно від зміни іншої величини (епюра нормальних(поперечних) сил, епюра моментів, що крутять(що вигинають), епюра нормальної(дотичних) напруги)
Подовжня сила в перерізі чисельно дорівнює сумі алгебри проекцій усіх сил, прикладених по одну сторону від даного перерізу, на подовжню вісь стержня.
Правило знаків для N: умовимося рахувати подовжню силу в перерізі позитивної, якщо зовнішнє навантаження, прикладене до даної відсіченої частини стержня, викликає розтягування і негативною - інакше.
Порядок розрахунку :
1. Намічаємо характерні перерізи, нумеруючи їх від вільного кінця стержня до закладення.
2. Визначаємо подовжню силу N = в кожному характерному перерізі
При цьому розглядаємо завжди ту відсічену частину, в яку не потрапляє жорстке закладення.
По знайдених значеннях будуємо епюру N.
Для епюр подовжніх сил характерні певні закономірності, знання яких дозволяє оцінити правильність виконаних побудов:
· Епюри N завжди прямолінійні.
· На ділянці, де немає розподіленого навантаження, епюра N - пряма, паралельна осі; а на ділянці під розподіленим навантаженням - пряма похилої.
· Під точкою прикладення зовнішньої зосередженої сили на епюрі обов'язково має бути стрибок (розрив першого роду) на величину цієї сили.
· Позитивні значення відкладаються(у вибраному масштабі) над віссю епюри, негативні, - під віссю.
Побудова епюри нормальної напруги не може викликати затруднень. Нормальна напруга в поперечних перерізах одного ступеня не змінюється. Тому епюра для кожного ступеня зображається відрізком, паралельним базовій лінії; відстань між цими відрізками і базовою лінією пропорційно нормальній напрузі в перерізах ступеня
3. Поздовжні і поперечні деформації. Закон Гуку.
При розтягуванні і стискуванні бруса міняються його подовжні і поперечні розміри – брус подовжується або коротшає.
При розтягуванні довжина бруса міняється на подовження – це
Δl = l1 – l – подовження; - Δb = b1 – b - звуження
При стискуванні довжина бруса міняється на укорочення – це
- Δl = l1 – l – укорочення; - Δb = b1 – b - збільшення
l - початкова довжина, l1 - довжина після розтягу, ∆ l - абсолютне подовження(укорочення) b - початкова ширина, ∆b - абсолютне звуження.
Поздовжня деформація: εповд= Δl / l
Поперечна деформація: εпопер= Δb / b
Коефіцієнт поперечної деформації, коефіцієнт Пуассона: μ = εпопер / εповд характеристика пластичності матеріалу.
Закон Гуку виражає прямо пропорційну залежність між нормальною напругою і відносною деформацією :
σ = Еεилиε = σ / Е
Основний закон опору матеріалів. Величина Е є однією з найважливіших постійних матеріалу, характеризує жорсткість, тобто здатність чинити опір пружній деформації. Називається модулем пружності (МПа).
4. Діаграми розтягу
На ділянці 0-1 графік має вигляд прямої, що проходить через початок координат. Це означає, що до певного значення напруги деформація є пружною і виконується закон Гуку, т. е. нормальна напруга пропорційно відносному подовженню. Максимальне значення нормальної напруги σп, при якому ще виконується закон Гуку, називають межею пропорціональності.
При подальшому збільшенні навантаження залежність напруги від відносного подовження стає нелінійною(ділянка 1-2), хоча пружні властивості тіла ще зберігаються. Максимальне значення σу нормальної напруги, при якій ще не виникає залишкова деформація, називають межею пружності. (Межа пружності лише на соті долі відсотка перевищує межу пропорціональності.) Збільшення навантаження вище межі пружності(ділянка 2-3) призводить до того, що деформація стає залишковою. Потім зразок починає подовжуватися практично при постійній напрузі(ділянка 3-4 графіки). Це явище називають плинністю матеріалу. Нормальна напруга σт, при якому залишкова деформація досягає заданого значення, називають межею плинності.
При напрузі, що перевищує межу плинності, пружні властивості тіла певною мірою відновлюються, і воно знову починає чинити опір деформації(ділянка 4-5 графіка). Максимальне значення нормальної напруги σпр, при перевищенні якого відбувається розрив зразка, називають межею міцності.
5. Механічні характеристики матеріалів
Під механічними характеристиками маються на увазі значення напруг і деформацій, що відповідають певним точкам на діаграмі умовних напруг.
Межею пропорційності σпц називається найбільша напруга, до якої деформації прямо пропорційні напругам.
Межею пружності σпр називається напруга, до якої матеріал не одержує залишкових деформацій.
Границею текучості σт називається напруга, при якій деформації ростуть без помітного збільшення навантаження.
Межею міцності, або тимчасовим опором σм називається максимальна напруга (підраховане по первісній площі перетину зразка), що витримується матеріалом при розтяганні. Його величина визначається ординатою крапки С умовної діаграми (див. Рис. 2.6).
При експериментальному визначенні величин меж пропорційності й пружності вноситься певний елемент умовності. Пояснюється це тим, що початок відхилення від лінійної залежності, як і початок утворення залишкових деформацій, буде відзначене тим раніше, чим вище точність виміру деформацій.
Тому під межею пропорційності σпц розуміється напруга, при якій відступ від лінійної залежності досягає певної величини, установлюваної технічними умовами.
Межею пружності вважається напруга, при якої залишкові деформації досягають раніше встановленої величини в межах 0.001-0.005%. Умовна межа із при залишковій деформації 0.005% позначається σ0,005.
Для матеріалів, що не мають площадки плинності, як межа плинності умовно приймається напруга, при якій залишкові деформації становлять 0.2 або 0.3% від первісної довжини зразка. Умовна або, інакше, технічна границя текучості відповідно до допуску на залишкову деформацію позначається σ0,2 або σ0,3.
У теоретичних дослідженнях індекси 0.2 і 0.3 звичайно опускаються й умовну границю текучості позначається символом σт. Границя текучості є однієї з основних характеристик матеріалу. Пластичні властивості матеріалу, тобто здатність до утворення залишкових деформацій, характеризується величиною залишкового подовження зразка при розриві
а також відносним зменшенням площі перетину зразка в шийці
де l1, F1 - довжина робочої частини зразка й площа найменшого перетину шийки розірваного зразка, відповідно; l0, F0 - їхні величини до навантаження.
Основні механічні характеристики застосовуваних у техніку матеріалів приводяться в довідковій літературі.
Питання для самоперевірки:
1. Що таке розтяг і стиск?
2. Що виникає при деформації в поперечних перерізах?
3. Що таке повдожня сила?
4. Нормальні напруження – що це?
5. Поняття абсолютне подовження та укорочення.
6. Метод РОЗУ.
7. Що таке епюра?
8. Правила побудови епюри поздовжніх сил та нормальних напружень при розтягу (стиску).
9. Поздовжні і поперечні деформації.
10. Закон Гуку.
11. Охарактеризувати діаграму розтягу.
12. Назвати механічні характеристики матеріалів.
Питання для самостійного вивчення:
С/Р 1. Діаграми розтягу.
С/Р 2. Механічні характеристики матеріалів.
Література:
1. Михайлов А.М. Сопротивление материалов. М.: Стройиздат, 1989. с.25-67
ЛЕКЦІЯ № 9
Тема 2.3.Зріз і зім’яття.
Тема 2.4.Геометричні характеристики перерізу
План лекції
1. Зріз і зім’яття. Умова міцності.
2. Поняття про чистий зсув.
С/Р 3. Характер роботи болтових і зварювальних з’єднань, розрахунок на
міцність цих з’єднань.
С/Р 4. Моменти інерції.
5.Момент інерції відносно паралельних осей
6. Головні осі і головні центральні моменти.
1. Зріз і зі м’яття. Умова міцності.
Зріз (зсув) – це деформація виробу під дією дотичної напруги, при якій одна його частина зміщується відносно іншої по якій-небудь площині (поверхні).
Найчастіше зріз спостерігається в заклепках і болтах. Стосовно матеріалів, що мають волокнисту структуру(наприклад, деревина), такий вид руйнування називається сколюванням.
Умова міцності елементів, працюючих на зріз: τ = Q /Aзр ≤ [τ зр]
де Aзр – площа зрізу
[τзр]- дотична напруга, що допускається, яка в першому наближенні приймається рівною [τзр≈(0.7÷0.8)[σ]
Зім’яття- вид місцевої пластичної деформації; виникає при стискуванні твердих тіл, в місцях їх контакту.
Зімяття матеріалу починається тоді, коли інтенсивність напруги досягає величини межі плинності матеріалу
Умова міцності елементів, працюючих на зріз: σ= Q /Aзм ≤ [σзм]
де Aзм – площа зім’яття
[σзм]- напруга, що допускається, яка приймається рівною [σзм]≈(1.7÷2.2)[ σзм]