Атом водорода в квантовой механике

Физика атомов и молекул

 

На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную (планетарную)модель атома. Согласно этой модели вокруг положительного ядра по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома, в области с линейными размерами порядка 10-10 м. Заряд ядра равен Zе (Z. -— порядковый номер элемента в системе Менделеева, е — .элементарный заряд), размер 10-15 – 10-14 м, масса, практически равна массе атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов.

Атом водорода и водородоподобные системы – это системы, состоящие из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы He+, Li2+).

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не+, двукратно ионизованного лития Li+ + и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Zе (для атома водорода Z =1),

, (1)

где r – расстояние между электроном и ядром. Графически функция U (r)изображена жирной кривой на рис. 6, неограниченно убывающей (возрастающей .по модулю) при уменьшении r, т. е. при приближении электрона к ядру.

Рис. 6

 

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему значение (1):'

, (2)

где m – масса электрона, Е – полная энергия электрона в атоме.

Это так называемое стационарное уравнение Шрёдингера для электрона водородоподобного атома ВДПА.

1. Энергия.В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции Ψ, только при собственных значениях энергии

(n = 1, 2, 3,…), (3)

т. е. для дискретною набора отрицательных значений энергии.

Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» , решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е1, Е2, Е3, ... показаны па рис. 6 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е1, отвечающий минимальной возможной энергии, – основной,все остальные (Еn>E1, n = 2, 3,…) – возбужденные. При Е < 0 движение электрона является связаннымон находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энергетические уровни располагаются теснее и при п=∞ Е∞= 0. При Е > 0 движение электрона является свободным;область непрерывного спектра Е >0 (заштрихована на рис. 6) соответствует ионизованному атому.Энергия ионизации атома водорода равна

Ei = - E1 = me4 / (8h2ε02) = 13,55 эВ.

2. Квантовые числа.В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (2) удовлетворяют собственные функции , определяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным l и магнитным ml.

Главное квантовое число n,согласно (3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы:

n =1, 2. 3, ....