Основные теоремы электростатики в интегральной и дифференциальной форме.

1) Теорема Гаусса.

(вакуум)

(среда)

 

По теореме преобразования поверхностного интеграла в объемный (теореме Остроградского) имеем:

 

откуда следует дифференциальная форма записи теоремы Гаусса:

 

 

где ρ – объемная плотность стороннихзарядов;

 

.

 

Используя определение , нетрудно показать, что , где - объемная плотность связанных зарядов.

2) Теорема о циркуляции электрического поля.

По теореме преобразования контурного интеграла в поверхностный (теореме Стокса) имеем:

 

,

 

откуда следует дифференциальная форма второй основной теоремы электростатики

 

где .

 

Граничные условия для электрического поля.

При переходе через границу раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂ (рис.3.12) необходимо учитывать граничные условия для полейи, которые непосредственно вытекают из основных интегральных теорем электростатики.

Нормальные составляющие индукции поля непрерывны

Учитывая, что , находим также:

Тангенциальные составляющие электрического поля непрерывны

Поскольку , то