Простейшие логические символы
Виды числовых множеств. Окрестность точки.
Пусть а и b — два числа, причём а<b. Будем использовать следующие обозначения:
| Конечные числовые промежутки | ||||
| 1. | {x| a£x£b}=[a; b] | замкнутый промежуток (интервал) | отрезок | сегмент |
| 2. | {x| a<x£b}=(a; b] | полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал) | полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок | полусегмент |
| 3. | {x| a£x<b}=[a; b) | полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал) | полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок | полусегмент |
| 4. | {x| a<x<b}=(a; b) | открытый промежуток (интервал) | ||
| Бесконечные числовые промежутки | ||||
| 5. | {x| a£x}=[a; +¥) | полуинтервал | закрытый луч | полупрямая |
| 6. | {x| a<x}=(a; +¥) | интервал | открытый луч | полупрямая |
| 7. | {x| x£b}=(-¥; b] | полуинтервал | закрытый луч | полупрямая |
| 8. | {x| x<b}=(-¥; b) | интервал | открытый луч | полупрямая |
| 9. | {x| -¥<x<+¥}=(-¥; +¥) | множество всех вещественных чисел | числовая прямая | прямая |
Все эти множества называются промежутками (интервалами).
Определение 1: Промежутки [a; b], (a; b], [a; b) и (a; b) называются конечными; а и b — их концы.
Остальные промежутки называются бесконечными.
Открытый интервал (a; b) отличается от отрезка [a; b] тем, что ему не принадлежат концы и интервал (а, b) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, в то время как в отрезке [а, b] такими числами являются соответственно b и а.
Пусть х0 — любое действительное число.
Определение 2: Окрестностью точки х0 называется любой интервал (a; b), содержащий точку х0. В частности, интервал (х0-e; х0+e), где e>0 называется e-окрестностью точки х0. Число х0 называется центром, а число e — радиусом.
Если хÎ(х0-e; х0+e), то выполняется неравенство х0-e<х<х0+e, или, что то же, |х-х0|<e.
Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х0 в e-окрестностью точки х0.
Проколотой окрестностью точки х0 называется такая окрестность точки х0, из которой удалена сама точка х0.
| Þ - знак логического следования | aÞb | означает «из предложения a следует предложение b» |
| Û - знак равносильности (тогда и только тогда, когда) | aÛb | означает «предложение a равносильно предложению b», то есть «из a следует b и из b следует a» или «a выполняется тогда и только тогда, когда выполняется b» |
| "- квантор[1] всеобщности ("[2]) | "х | означает «для любого х», или «для всякого х» |
| $ - квантор существования ($[3]) | $х | означает «существует х», или «найдётся х» |
| ! – знак единственности | "х$!у | означает «для любого х существует и притом единственный у» |
| : – «имеет место», «такое что» | "х$!у: х+у=0 | означает «для любого х существует и притом единственный у такой, что х+у=0» |
| | – «имеет место», «такое что» | "х$!у | х+у=0 | означает «для любого х существует и притом единственный у такой, что х+у=0» |
| Î(Ï) – знак принадлежности (не принадлежности) | хÎХ (уÏY) | означает «элемент х принадлежит множеству Х», или «элемент у не принадлежит множеству Y» |