III. Непрерывность вещественных чисел.

II. Сравнение вещественных чисел.

I. Сложение и умножение вещественных чисел

Основные свойства вещественных чисел.

 

Определение 3: Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа a+b и а·b, называемые их суммой и произведением, обладающими следующими свойствами.

 

Каковы бы ни были числа a, b и с:

1) a+b=b+a (переместительное свойство) — коммутативность сложения.

2) a+(b+c)=(a+b)+c (сочетательное свойство) — ассоциативность сложения.

3) a·b=b·a (переместительное свойство) — коммутативность умножения.

4) a·(b·c)=(a·b)·c (сочетательное свойство) — ассоциативность умножения.

5) (a+b)·c=a·c+b·c (распределительное свойство) — дистрибутивность умножения относительно сложения.

6) Существует единственное число 0 такое, что a+0=a для любого числа а.

7) Для любого числа а существует такое число -а, что а+(-а)=0.

8) Существует единственное число 1¹0 такое, что для любого числа а имеет место а·1=а.

9) Для любого числа а¹0 существует такое число a^-1, что а·a^-1=1.

Замечание: Числа -а и а^-1 (противоположное и обратное) единственны.

 

Для любых двух различных вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а=b, а>b или b>а (равенство или больше).

Отношение = обладает транзитивным свойством: если а=b и b=с, то а=с.

 

Отношение > обладает следующими свойствами.

Каковы бы ни были числа a, b и с:

10) Если а>b и b>с, то а>с.

11) Если а>b, то а+с>b+с.

12) Если а>0 и b>0, то а·b>0.

 

Вместо а>b пишут также b<a (меньше).

Запись а³b (или, что то же, b£а) обозначает, что либо а=b, либо a>b.

 

Определение 4: Соотношения а<b, а£b, a>b, a³b называются неравенствами.

 

Определение 5: Неравенства а<b, a>b называются строгими неравенствами. Неравенства а£b, a³b называются нестрогими неравенствами.

 

Определение 6: Число а, удовлетворяющее неравенству а>0, называется положительным, неравенству а<0,— отрицательным, неравенству а≥0,— неотрицательным, неравенству а≤0,— неположительным.

 

13) Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел хÎХ и yÎY выполняется неравенство х£у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для любых чисел х и у выполняются неравенства

х£с£у.

Следует заметить, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел, но им не обладает множество только рациональных чисел.

Из свойств I—III вытекают все остальные свойства вещественных чисел.

 

Определение 7: Вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами I—III. Такое определение вещественных чисел называется аксиоматическим, а свойства I—III — аксиомами вещественных чисел.