Колебания пружинного маятника.

Колебательное движение. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний математического, физического и пружинного маятников. Амплитуда, фаза, частота и период колебаний.

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Лекция 4

Колебательным движением (колебанием) называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему.

Если этот возврат совершается через равные промежутки времени, то колебание называется периодическим.

Примером колебательного движения служит гармоническое колебание.

Гармоническое колебание – это такое колебание при котором изменение колеблющейся величины со временем происходит по закону косинуса или синуса.

x

 

На стержень одет шар массой m, и на него намотана пружина с жесткостью k.Запишем II закон Ньютона.

 

 

Введем

 

 

Получим дифференциальное уравнение, описывающее малые колебания. По классификации дифференциальных уравнений, принятой в математике , данное уравнение относится к дифференциальным уравнениям 2-ого порядка (старшая 2-ая производная), линейным (наша функция и ее производная входят в 1-ой степени) с постоянными коэффициентами ω₀ = const и однородным. Проверим, что общее решение данного уравнения имеет вид

 

 

Общее решение дифференциального уравнения 2-ого порядка определяется с точностью до 2-х постоянных величин. А и φ, которые должны быть определены из начальных условий.

Начальные условия определяются тем, как были созданы колебания.

Проверим, что записанная функция, действительно является решением дифференциального уравнения.

Для этого подставим ее в уравнение.

 

 

=> Данная функция является решением дифференциального уравнения.

Предположим, что колебания создаются тем, что, растянутая в начальный момент времени на х₀, пружина затем опускается.

 

 

х₀ - амплитуда колебания – максимальное отклонение от положения равновесия.

ω_0t – фаза колебания.

ω – циклическая частота колебания.

- период колебания, время одного полного колебания.

- частота колебания, число колебаний в единицу времени.

Проверим выполнение закона сохранения механической энергии при колебательном движении.

Полная энергия:

То есть сумма кинетической и потенциальной энергии не изменяется с течением времени.

 

 

 

T