Критерий Гурвица
Критерий Стодолы
Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.
То есть, передаточная функция из примера по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.
Критерий Гурвица, как и критерий Стодола, определяет устойчивость по характеристическому полиному системы без непосредственного вычисления его корней. Однако критерий Стодола является необходимым критерием устойчивости, но не является достаточным. То есть, если по критерию Стодола система неустойчива, то она действительно является неустойчивой, если по критерию система устойчива, то для подтверждения ее устойчивости требуются дополнительные расчеты. Например, характеристический полином
s3 + s2 + 2s + 8
по критерию Стодола соответствует устойчивой системе, однако корни этого полинома равны s1 = -2, s2,3 = 0,5 ± j×1,94. То есть система фактически является неустойчивой, хотя коэффициенты полинома положительны.
Критерий Гурвица дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем.
Исходной информацией для данного критерия является характеристический полином системы: разомкнутой A(s) или замкнутой D(s) – в зависимости от того, какая система анализируется.
Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с an+1 по a0. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 (a0, a2, a4… или a1, a3, a5 …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.
Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находиться на границе устойчивости.
Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива независимо от числа положительных или нулевых определителей.
Пример.Дана передаточная функция разомкнутой системы
.
Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.
Для этого определяется ХПЗС:
D(s) = A(s) + B(s) = 2s4 + 3s3 + s2 + 2s3 + 9s2 + 6s + 1 = 2s4 + 5s3 + 10s2 + 6s + 1.
Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а4 = 2, а3 = 5, а2 = 10, а1 = 6, а0 = 1.
Матрица имеет вид
(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители (диагональные миноры матрицы):
Δ1 = 5 > 0,
,
Δ4 = 1* Δ3 = 1*209 > 0.
Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива. ♦