Прогнозирование с применением уравнения регрессии

Если модель регрессии признана адекватной, то переходят к построению прогноза.

Прогнозируемое значение переменной у получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины независимой переменной х_прогн:

Данный прогноз называется точечным. Вероятность реализации точечного прогноза практически равна нулю, поэтому рассчитывается доверительный интервал прогноза с большой надежностью:

где t – t-критерий Стьюдента, определяемый по таблице при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы k=n-2 (для парной регрессии);

– остаточная дисперсия на одну степень свободы, определяемая по формуле:

;

s – стандартная ошибка предсказания, определяемая по формуле:

Пример.

По статистическим данным, описывающим зависимость удельного веса бракованной продукции от удельного веса рабочих со специальной подготовкой на предприятиях построить уравнение парной регрессии и определить его значимость.

Номер предприя-тия	Удельный вес рабочих со специальной подготовкой, % х	Удельный вес бракованной продукции, % y

Решение

1. Построим диаграмму рассеяния для определения наличия зависимости между признаками и типа этой зависимости.

Диаграмма рассеяния или корреляционное поле показывает наличие линейной обратной связи.

2. Определим линейный коэффициент корреляции по формуле . Для этого построим вспомогательную таблицу:

Номер предприя-тия	Удельный вес рабочих со специальной подготовкой, % х	Удельный вес бракован-ной продукции, % y	(x-xср)^2	(y-yср)^2	xy
			857,6531	83,59184
			371,9388	9,877551
			86,22449	1,306122
			0,510204	0,734694
			114,7959	8,163265
			429,0816	14,87755
			661,2245	34,30612
Сумма			2521,429	152,8571
Среднее значение	44,28571	8,857143	360,2041	21,83673	306,4286

Линейный коэффициент корреляции будет равен:

С помощью встроенной функции КОРРЕЛ Excel получаем такое же значение линейного коэффициента корреляции. Для этого в ячейку необходимо ввести =КОРРЕЛ(массив1; массив2), причем не имеет значения последовательность ввода массивов.

Таким образом, делаем вывод о сильной обратной линейной зависимости между изучаемыми признаками.

2. Построим уравнение парной линейной регрессии . Оценим параметры уравнения регрессии а и b с помощью МНК. Для этого построим вспомогательную таблицу.

Номер	х	у	x^2	xy







Сумма

Система нормальных уравнений для нахождения параметров парной линейной регрессии имеет вид:

Подставим необходимые данные и получим:

Решив систему, получим

С помощью встроенной функции ЛИНЕЙН Excel получаем такие же значения параметров уравнения регрессии. Для этого необходимо выделить две ячейки в одной строке, выбрать в главном меню Вставка/Функция, далее выбрать из категории Статистические функцию ЛИНЕЙН. В образовавшемся окне заполнить аргументы функции:

Известные значения y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения x – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении регрессии, может принимать значение 0 или 1. Указываем 1.

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если указать 0, будут выведены только значения параметров уравнения регрессии а и b в двух выделенных ячейках.

Далее необходимо нажать ОК, одновременно удерживая клавиши Ctrl/Shift. В первой ячейке будет указано значение коэффициента при х, во второй – значение свободного члена уравнения регрессии.

Чтобы вывести всю статистику по уравнению регрессии изначально необходимо выделить диапазон из пяти строк и двух столбцов и задать логическое значение 1 в аргументе функции ЛИНЕЙН Статистика. Дополнительная регрессионная статистика будет выводится в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента а	Значение коэффициента b
Среднеквадратическое отклонение b (стандартная ошибка параметра b)	Среднеквадратическое отклонение а (стандартная ошибка параметра а)
Коэффициент детерминации R²	Среднеквадратическое отклонение у
F-статистика (F-критерий Фишера)	Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

Для разбираемого примера таблица будет выглядеть следующим образом:

-0,23824	19,40793
0,027796	1,339265
0,936275	1,395765
73,46237
143,1163	9,740793

Таким образом, уравнение регрессии будет иметь вид: .

t-критерий Стьюдента для параметра а будет равен . Табличное значение t-критерия Стьюдента составляет 2,57. Поскольку расчетное значение больше табличного параметр а признается статистически значимым.

t-критерий Стьюдента для параметра а будет равен . Поскольку , параметр b признается статистически значимым.

Т.к. коэффициент детерминации , коэффициент корреляции равен и будет иметь отрицательное значение, поскольку связь обратная, на что указывает отрицательный коэффициент при х в уравнении регрессии.

Расчетное значение F-критерия Фишера равно 73,46, табличное значение F-критерия Фишера равно 6,61. Поскольку расчетное значение F-критерия больше табличного или критического, уравнение парной линейной регрессии в целом признается статистически значимым с вероятностью 95%.

t-критерий Стьюдента для линейного коэффициента корреляции определяется по формуле: , что больше табличного значения, поэтому линейный коэффициент корреляции признается статистически значимым.

3. Рассчитаем теоретические значения результативного признака, остатки и среднюю ошибку аппроксимации:

Номер	х	у
			15,83428	2,16572238	0,120318
			13,45184	-1,45184136	0,120987
			11,06941	-1,069405099	0,106941
			8,686969	-0,686968839	0,085871
			6,304533	-0,304532578	0,050755
			3,922096	1,077903683	0,215581
			2,730878	0,269121813	0,089707
Сумма					0,79016

Средняя ошибка аппроксимации равна: . Таким образом, при прогнозировании по данной модели в среднем ошибка составит 11%, в то время как предельные допустимые значения этого показателя составляют 8-10%. Большая средняя ошибка аппроксимации получилась за счет малого числа наблюдений.