Математическая модель цифрового автомата

 

Цифровой автомат - устройство, характеризующееся набором внутренних состояний в которое оно попадет под воз­действием команд заложенной в него программы. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется в определенный момент времени.

Математической моделью ЦА (а в общем случае любого дискретного устройства) является так называемый абстракт­ный автомат, определенный как 6-компонентный кортеж: S=(A,X,Y,d,l,а₁) у которого:

1. A={a₁, a₂, ... ,a_m} – алфавит состояний – множество состояний, в которых может находиться проектируемый цифровой автомат. Количество состояний играет важную роль при реализации ЦА. Чем больше состояний, тем больше требуется запоминающих элементов(триггеров) для построения ЦА.

2. X={x₁, x₂, ... ,x_f} – алфавит входных значений – множество значений, которые могут поступать на вход ЦА. Например, если у автомата двухразрядный двоичный вход, то элементами алфавита могут быть 00, 01, 10 и 11.

3. Y={y₁, y₂, ..., y_g} – алфавит выходных значений – множество значений, которые могут быть установлены на выходе ЦА.

4. d: A·X®A – функция переходов a(t+1)=d(x(t), a(t)). Функция переходов определяет, в какое состояние a(t+1) перейдет автомат под воздействием входного сигнала x(t), если в текущий момент времени автомат находится в состоянии a(t).

5. l : A·Z®W – функция выходов y(t)= l(a(t),x(t)). Функция выходов определяет какое выходное значение y(t) будет установлено на выходе автомата в зависимости от входного значения x(t) и текущего состояния a(t).

6. a_i ÎA - начальное состояние автомата –состояние в которое устанавливается ЦА после подачи питания или после сброса

Под алфавитом здесь понимается непустое множество попарно различных символов. Элементы алфавита называются буквами, а конечная упорядоченная последовательность букв - словомв данном алфавите.

 

Рисунок 6.1 – Абстрактный автомат

Абстрактный автомат (рисунок 6.1) имеет один вход и один выход. Автомат работает в дискретном времени, принимающем целые неотрицательные значения t = 0,1,2,... В каждый момент t дискретного времени автомат находится в некотором состоянии a(t) из множества состояний автомата, причем в начальный момент t = 0 он всегда находится в начальном со­стоянии a(0)=a1. В момент t, будучи в состоянии a(t), автомат способен воспринять на входе букву входного алфавита X(t)ÎZ. В соответствии с функцией выходов он выдаст в тот же момент времени t букву выходного алфавита y(t)=l(a(t), z(t)) и в соответствии с функцией переходов перейдет в следующее состояние a(t+1)=d[a(t), x(t)], a(t) ÎA, y(t) ÎY.

Смысл понятия абстрактного автомата состоит в том, что он реализует некоторое отображение множества слов вход­ного алфавита X во множество слов выходного алфавита Y. Т.е. если на вход автомата, установленного в начальное состояние a1, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита x(0), x(1),... - входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита y(0), y(1),... - выходное слово. Т.о. выходное слово = j(входное слово), где j - отображение, осуществляемое абстрактным автоматом.

На уровне абстрактной теории понятие "работа автомата" понимается как преобразование входных слов в выходные. Можно сказать, что в абстрактном автомате отвлекаемся от его структуры - содержимого прямоугольника (рисунок 6.1), рассматривая его как "черный ящик", т.е. основное внимание уделяем поведению автомата относительно внешней среды.

Понятие состояния в определении автомата введено в связи с тем, что часто возникает необходимость в описании пове­дения систем, выходы которых зависят не только от состояния входов в данный момент времени, но и от некоторой пре­дыстории, т.е. от сигналов, которые поступали на входы системы ранее. Состояния как раз и соответствуют некоторой памяти о прошлом, позволяя устранить время как явную переменную и выразить выходной сигнал как функцию со­стояния и входа в данный момент времени.