Для указания знака числа используется старший (знаковый) разряд. У положительных чисел в этом разряде устанавливают значение, равное нулю, у отрицательных чисел равное единице.
Методы вычитания
Для выполнения операций вычитания, умножения и деления в цифровой технике используются сумматоры. При вычитании знак вычитаемого изменяется, и результат складывается с уменьшаемым двоичным числом.
Вычитатель
а) В инверсном коде. Изменение знака получается инверсией всех бит разрядов вычитаемого. Если при сложении появляется единица в разряде, более старшем, чем разрядность вычитателя, то она прибавляется к младшему разряду результата.
Пример: вычесть 7 из 9, результат представить в двоичном коде.
| Двоичное число | Десятичное число | Комментарий: |
| – 7 | Инверсия кода 01112 = 710 | |
| 1 0001 | Сумма | |
| Перенос 1 из старшего разряда | ||
| Результат: сложение суммы и переноса |
Недостаток метода: представление ноля двумя способами, так как инверсия 0...00 равна 1. ..11 и сумма двух разных по знаку, но равных по значению чисел дает 1...11.
Пример:сложить 4 и – 4, результат представить в двоичном коде.
| Двоичное число | Десятичное число | Комментарий: |
| – 4 | Инверсия кода 01002 = 410 | |
| Сумма |
б) В дополнительном коде. Изменение знака получается инверсией всех бит разрядов числа, расширенного до полного формата и добавлением к результату 1 в младшем разряде. Единица в разряде, более старшем, чем разрядность вычитателя отбрасывается.
Вычитание в дополнительном коде можно применять не только в двоичной системе счисления. Например, стрелочные часы показывают 9 часов, а их надо установить на 1 час. Для этого часовую стрелку можно вращать против ее движения на 8 делений, что эквивалентно вычитанию, или по ходу на 4 деления, выполняя операцию сложения и получив тот же результат. В данном случае число 4 является дополнением к 8, а их сумма равна 12. Это справедливо только в случае, если нет переноса в следующий разряд (он отбрасывается).
Дополнение и вычитаемое число дополняют друг друга при n – разрядном представлении до M n, где M – основание системы счисления.
При изменении знака значения всех бит разрядов двоичного числа расширенного до полного формата (в незаполненные старшие разряды записаны нули) заменяются дополнением до единицы (инвертируются), и к результату добавляется 1 в младшем разряде. Единица в разряде, более старшем, чем разрядность вычитающего устройства отбрасывается.
Исключение единицы старшего разряда объясняется тем, что разрядность цифровых устройств ограничена и выходящие за эти ограничения по величине числа утрачиваются.
Пример:изменить знак числа 4 в двоичном коде
(табл.).
Последовательность операции изменения знака
| Двоичное число | Десятичное число | Комментарий | ||
| знак | модуль | знак | модуль | |
| + | Положительное число | |||
| – | Инверсия кода | |||
| + | Единица младшего разряда | |||
| – | Сумма инверсии и 1 младшего разряда | |||
| – | Отрицательное число |
Дополнение двоичного числа равно его отрицательному значению.
Необходимость добавления единицы младшего разряда объясняется тем, что обратный код выражается зависимостью:
 |
(3)
где: АПР – прямой код.
Например, 210 = 0102, 2n -1 = 1112. AОБР = 111 – 010 = 101.
Дополнительный код, по определению, равен:
 |
(4)
Согласно (3, 4):
Пример: сложить четырехразрядные числа: 00012 =110 и код 11112:
| 11112 | – 110 | Из примера следует, что двоичный код 11112 соответствует – 110, т.к. сумма равна 0. Тогда меньшее на 1 значение 11102 является представлением – 210 и т.д. |
| 00012 | +110 | |
| 00002 | 010 |
Пример:вычислить: 7 +(– 4), результат представить в четырехразрядном двоичном коде.
Пятый разряд использовать как знаковый.
Ответ в табл. 5.
Последовательность операции вычитания
| Двоичное число | Десятичное число | Комментарий | ||
| знак | модуль | знак | модуль | |
| + | Первое слагаемое | |||
| + | Вычитаемое в полном формате | |||
| – | Инверсия вычитаемого | |||
| + | Единица младшего разряда | |||
| – | Сумма инверсии и 1 младшего разряда | |||
| – | Второе слагаемое в дополнительном коде | |||
| + | Сумма первого и второго слагаемых | |||
| + | Результат вычитания |
Если при добавлении дополнения в n – разрядном представлении отсутствует перенос в n +1 разряд, то результат является отрицательным числом.
Пример: числа в двоичном коде складываются и вычитаются аналогично методу расчета «в столбик» с учетом переносов и займов.
| Двоичный код: | Сложение: | Двоичный код: | Вычитание: |
| A3A2A1A0: | A3A2A1A0: | ||
| B3B2B1B0: | B3B2B1B0: | ||
| S3 S2 S1S0: | D3 D2 D1D0: |
Где: A, B – четырех разрядные переменные, S3 …S0 – результат сложения; D3 …D0 – результат вычитания.
Пример:вычислить 4 +(–7), у полученной разности изменить знак, результат представить в четырехразрядном двоичном коде. Пятый разряд использовать как знаковый. Ответ в табл. 6.
Последовательность операции вычитания
| Двоичное число | Десятичное число | Комментарий | ||
| знак | модуль | знак | модуль | |
| + | Первое слагаемое | |||
| + | Вычитаемое в полном формате | |||
| – | Инверсия вычитаемого | |||
| + | Единица младшего разряда | |||
| – | Сумма инверсии и 1 младшего разряда | |||
| – | Второе слагаемое в дополнительном коде | |||
| + | Сумма, переноса нет – число отрицательное | |||
| – | Результат вычитания | |||
| + | Инверсия результата | |||
| + | Единица младшего разряда | |||
| + | Сумма инверсии и 1 младшего разряда | |||
| + | Модуль результата вычитания |
Пример:представить значения + 0 и – 0 в двоичном коде. Ответ в табл. 7.
Последовательность операции вычитания Таблица 7
| Двоичное число | Десятичное число | Комментарий |
| + 0 | ||
| Инверсия кода 00002 = 010 | ||
| Единица младшего разряда | ||
| 1 0000 | 1 отбрасывается | |
| – 0 | Результат |
При выполнении операций сложения и вычитания возможны ошибки, если количество разрядов результата вычислений превышает разрядность вычислительных устройств. Например, сложение двух больших положительных или больших отрицательных чисел.
Признаком ошибки, в данном случае, является не совпадение знаков переменных со знаком результата вычислений. Этот факт контролируется специальным устройством.
Ограничения представления чисел: без указания знака от 0 до 2n –1, где n – число разрядов.
Восемь разрядов двоичного числа соответствует 0…25510. Шестнадцать разрядов: от 0 до 6553510 или 0 – FFFF16.
Числа со знаком ограничены диапазоном: от – 2n-1 до +2n-1 –1, где n – число разрядов. Восемь разрядов двоичного числа соответствуют: от –12810 до +12710. Шестнадцать разрядов: от –32768 до +3276710 или 8000…7FFF16.