Вывод уравнений движения

Уравнения движения ИМ МР

Уравнения движения ИМ позволяют определить параметры движения ИМ (q _i, q^{`</sup><sub>i</sub>, q``<sub>i</sub>, i = 1,2,…,n ) по известным силам и моментам, развиваемым приводами, а также по известным внешним силам и моментам. Решение этих уравнений определяет сущность прямой задачи динамики ИМ (часто говорят «задача динамики ИМ»). Для того, чтобы решить прямую задачу динамики ИМ, нужно составить соотношения, связывающие между собой m<sub>дi</sub>, F<sub>вj</sub>, M<sub>вj</sub> и искомые параметры движения ИМ и разрешить их относительно искомых переменных. Теперь для этого подставим в последнее выражение п.1.5 выражения для расчета w<sup>`}_j⁽⁰⁾ и V^`_j ⁽⁰⁾ и разрешим полученные соотношения относительно старших производных q_i .

Выполним эту подстановку:

_{n j j}

S с_i^{(0) T} I_j⁽⁰⁾ (S с^{`</sup><sub>k</sub><sup>(0)</sup> q<sub>k</sub><sup>`} + S с_k⁽⁰⁾ q^``_k) + l(w_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾ ) +

^{j=i k=1 k=1}

_{n j j n n}

S D_ji^(0)T m_j ( S D`<sub>jk</sub><sup>(0)</sup> q<sup>`</sup>_k + S D_jk⁽⁰⁾ q^``_k) = m_дi + S с_i^{(0) T}_. M_вj ⁽⁰⁾ + S D_ji^(0)T F_вj ⁽⁰⁾.

^{j=i k=1 k=1 j=i j=i}

Обозначим сумму слагаемых в левой части полученного соотношения, содержащих производные обобщенных координат в первой степени, а также w_j⁽⁰⁾ как b_i, т.е.

_{n j n j}

S с_i^{(0) T} (I_j⁽⁰⁾ S с^{`</sup><sub>k</sub><sup>(0)</sup> q<sub>k</sub><sup>`} + l(w_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾ ) + S D_ji^(0)T m_j S D`<sub>jk</sub><sup>(0)</sup> q<sup>`</sup>_k = b_i.

^{j=i k=1 j=i k=1}

 

Оставшиеся слагаемые в левой части рассматривемого соотношения, содержащие вторые производные обобщенных координат, преобразуем следующим образом:

_{n j n j}

S с_i^{(0) T} I_j⁽⁰⁾ S с_k⁽⁰⁾ q^{``</sup><sub>k</sub> + S D<sub>ji</sub><sup>(0)T</sup> m<sub>j</sub> S D<sub>jk</sub><sup>(0)</sup> q<sup>``}_k =

^{j=i k=1 j=i k=1}

_{n j n j}

S S с_i^{(0) T} I_j⁽⁰⁾ с_k⁽⁰⁾ q^{``</sup><sub>k</sub> + S S D<sub>ji</sub><sup>(0)T</sup> m<sub>j</sub> D<sub>jk</sub><sup>(0)</sup> q<sup>``}_k =

^{j=i k=1 j=i k=1}

j = i k = 1,2,…,i.

j = i+1 k = 1,2,…,i, i+1. -> k = 1,…,n, j = i,…,n при k ≤ i

… … j = k,…,n при k > i

j = n k = 1,2,…,i,i+1, … , n

 

_{n n n n}

S S с_i^{(0) T} I_j⁽⁰⁾ с_k⁽⁰⁾ q^{``</sup><sub>k</sub> + S S D<sub>ji</sub><sup>(0)T</sup> m<sub>j</sub> D<sub>jk</sub><sup>(0)</sup> q<sup>``}_k .

^{k=1 j=i if k ≤ i k=1 j=i if k ≤ i}

^{j=k if k > i j=k if k > i}

Переименуем индексы (j<->k) и сгруппируем подобные члены:

_{n n n n}

S S с_i^{(0) T} I_j⁽⁰⁾ с_k⁽⁰⁾ q^{``</sup><sub>k</sub> + S S D<sub>ji</sub><sup>(0)T</sup> m<sub>j</sub> D<sub>jk</sub><sup>(0)</sup> q<sup>``}_k =

^{k=1 j=i if k ≤ i k=1 j=i if k ≤ i}

^{j=k if k > i j=k if k > i}

_{n n n n n}

S S с_i^{(0) T} I_k⁰⁾ с_j⁰⁾ q^{``</sup><sub>j</sub> + S S D<sub>ki</sub><sup>(0)T</sup> m<sub>k</sub> D<sub>kj</sub><sup>(0)</sup> q<sup>``}_j = S a_ij q^``_j,

^{j=1 k=i if j ≤ i j=1 k=i if j ≤ i j=1}

^{k=j if j > i k=j if j > i}

 

где обозначено:

_{n n}

a_ij = S ( с_i^{(0) T} I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾ + D_ki^(0)T m_k D_kj⁽⁰⁾) = S (с_i^{(0) T} I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾ + D_ki^(0)T m_k D_kj⁽⁰⁾). (4.3)

^{k=i if j ≤ i k=max(i,j)}

^{k=j if j > i}

 

 

С учетом выполненных преобразований и введенных обозначений первое выражение п.2.1 примет вид:

 

_{n n n}

S a_ij q^``_j + b_i = m_дi + S с_i^{(0) T} M_вj ⁽⁰⁾ + S D_ji^{(0) T} F_вj ⁽⁰⁾ ,

^{j=1 j=i j=i}

i = 1,2,…,n.

 

 

Полученная система дуравнений описывает движение ИМ под действием внешних сил и моментов, а также сил и (или) моментов, развиваемых приводами шарниров. Физический смысл каждого из слагаемых в этом выражении – силы и моменты, действующие вдоль осей шарниров:

_n

S a_ij q^``_j - часто называют “инерционными “ силами или моментами, с

^j=1

которыми ИМ воздействует на оси шарниров,

b_i – центробежные и кориолисовы силы и моменты, воздействующие на оси шарниров,

_n

S с_i^{(0) T} M_вj ⁽⁰⁾ – моменты, воздействующие на оси шарниров; обусловлены

^j=i

внешними моментами, приложенными к звеньям ИМ,

_n

Σ D_ji^{(0) T} F_вj ⁽⁰⁾ – силы и моменты, воздействиующие на оси шарниров;

^j=i

обусловлены внешними силами, приложенными к звеньям ИМ,

 

m_дi – силы и моменты, развиваемые приводами ИМ.

 

Последнюю систему можно представить в виде одного уравнения, если обозначить

A = {a_ij} – матрица (nxn) при вторых производных обобщенных координат ИМ (матрица инерционных коэффициентов, матрица инерции ИМ),

b = [b_i ] – вектор (nx1), (i = 1,2,…,n),

С⁽⁰⁾ = {с_j ⁽⁰⁾} – матрица (3nxn) (см. п.2.5.2),

D⁽⁰⁾ = {D_ij⁽⁰⁾} – матрица (3nxn) (см. п.2.9),

m_д = [m_дi], вектор (nx1), i = 1,2,…,n,

M_в ⁽⁰⁾ = [M_в1^(0)T M_в2^(0)T … M_вn^(0)T ]^T – вектор (3nxn) с компонентами M_вj ⁽⁰⁾,

F_в ⁽⁰⁾ = [F_в1^(0)T F_в2^(0)T … F_вn^(0)T ]^T - вектор (3nxn) с компонентами F_вj ⁽⁰⁾.

Воспользовавшись сделанными обозначениями, получим:

 

A q^`` + b = m_д + С^(0)T M_в⁽⁰⁾ + D^{(0) T} F_в⁽⁰⁾.

 

 

2.2. Свойства матрицы А = { a_ij }

 

а) Элемент a_ij есть:

сумма из (n - max(i,j) +1) скалярных произведений вектора с_i⁽⁰⁾ и вектора с_j⁽⁰⁾ , взятых с I_k⁽⁰⁾ как с весовыми матрицами, причем k приобретает последовательно целосчисленные значения из диапазона max(i,j) ≤ k≤ n

плюс

сумма из (n - max(i,j) +1) скалярных произведений векторов D_ki⁽⁰⁾ и векторов D_kj⁽⁰⁾, взятых с m_k как с весовыми множителями, причем k приобретает последовательно целосчисленные значения из диапазона max(i,j) ≤ k≤ n.

Действительно, по свойству скалярного произведения

 

с_i^{(0) T} I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾ = с_i⁽⁰⁾ . ( I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾),

D_ki^(0)T m_k D_kj⁽⁰⁾ = D_ki⁽⁰⁾ . ( m_k D_kj⁽⁰⁾).

 

Число слагаемых в суммах и диапазоны суммирования легко устанавливаются из (4.3). Свойство а) удобно проиллюстрировать геометрически (рис.4.1 – случай i>j):

 

 

б) А – симметрическая матрица. Для этого нужно доказать, что a_ij = a_ji ; а для этого достаточно показать, что

 

с_i^{(0) T} I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾ = с_j^{(0) T} I_k⁽⁰⁾ с_i⁰⁾ и D_ki^(0)T m_k D_kj⁽⁰⁾ = D_kj^(0)T m_k D_ki⁽⁰⁾.

 

Поскольку с_i^(0)T I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾ – скаляр, то (с_i^(0)T I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾)^T = с_i^(0)T I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾. С другой стороны

выполнение предписанных действий транспонирования над (с_i^(0)T I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾)^T дает с_j^{(0) T} I_k^(0)T с_i⁽⁰⁾ = с_j^(0)T I_k^(0)T с_i⁽⁰⁾, что и служит доказательством.

Доказательство для D_ki^(0)T m_k D_kj⁽⁰⁾ полностью аналогично.

 

 

 

Рис.4.1. Геометрическая интерпретация соотношений для расчета элементов матрицы A.

 

 

в) А – положительно определенная матрица (т.е. А>0).

 

Запишем выражение для кинетической энергии ИМ:

_n

КЕ = ½ S (V_j^(0)T m_j V_j⁽⁰⁾ + w_j^(0)T I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾) =

^j=1

_{n j j}

½ S S S (с_k^{(0) T} I_j⁽⁰⁾ с_l⁽⁰⁾ + D_jk^(0)T m_j D_jl⁽⁰⁾)q`<sub>k</sub>q`_l.

^{j=1 k=1 l=1}

Изменим порядок суммирования:

 

j = 1 k = 1 l = 1 -> k = 1,…,n

j = 2 k = 1,2 l = 1,2 l = k,…,n

j = 3 k = 1,2,3 l = 1,2,3 j = k (или l), т.е. = max(k,l)

… … …

j = n k = 1,2,3,…,n l = 1,2,3,…,n

 

_{n n n n n}

КЕ = ½ S S S (с_k^{(0) T} I_j⁽⁰⁾ с_l⁽⁰⁾ + D_jk^(0)T m_j D_jl⁽⁰⁾) q`<sub>k</sub> q`_l = ½ S S a_kl q`<sub>k</sub>q`_l .

^{k=1 l=1 j=max(k,l) k=1 l=1}

 

Таким образом, КЕ – квадратичная форма с матрицей A. По условиям физической реализуемости механической системы матрица квадратичной формы КЕ является положительно определенной. Поэтому A – положительно определенная матрица.

 

2.3. Свойства вектора b = {b_i}.

_j

С учетом выражений для с<sup>`</sup><sub>k</sub><sup>(0)</sup> и S D`_jk⁽⁰⁾ q^`_k элемент b_i можно

^k=1

представить в виде

_{n j}

b_i = S с_i^{(0) T} (I_j⁽⁰⁾ S l(w_k⁽⁰⁾) с_k⁽⁰⁾ q_k^` + l(w_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ w_j⁽⁰⁾ ) +

^{j=i k=1}

_n

S D_ji^(0)T m_j ( l(w_j⁽⁰⁾) l(w_j⁽⁰⁾) t_0j t_j +

^{j = i}

_{j j}

S l(w_k⁽⁰⁾) l(w_k⁽⁰⁾) t_0k (v_k (1-s_k)q_k + l_k) + 2 S l(w_k⁽⁰⁾) t_0k (v_k (1-s_k)q^`_k) +

^{k=1 k=1}

_{j j l}

l (S l(w_k⁽⁰⁾) t_0kv_ks_kq_k^{`</sup> ) t<sub>0j</sub>t<sub>j</sub> + S l (S l(w<sub>k</sub><sup>(0)</sup>) t<sub>0k</sub>v<sub>k</sub>s<sub>k</sub>q<sub>k</sub><sup>`} ) t_0l (v_l (1-s_l) q _l + l _l )).

^{k=1 l =1 k =1}

 

Физический смысл b_i – сила или момент, воздействующие на оси шарниров при движении ИМ. Из представленного выражения видно, что b_i квадратично зависит от вторых производных обобщенных координат. Слагаемые, входящие в b_i представляют собой центробежные силы, моменты от действия этих сил, а также кориолисовы силы и моменты от действия сил Кориолиса.