Матрица преобразования поворота СК произвольных звеньев

Очевидно,

Матрицы поворота СК смежных звеньев ИМ

Матрицы сложных поворотов

Матрица преобразования поворота СК_uvw относительно СК _xyz может быть представлена как последовательность двух и более поворотов:

 

t _{xyz, uvw} = t _{xyz, uvw (1)} … t _{xyz, uvw (n-1)} t _{xyz, uvw (n)},

 

где t _{uvw, xyz (i)} – матрица i-го поворота (композиция элементарных поворотов или отдельные элементарные повороты).

Если, например, t _{i-1, i} – матрица поворота СК_i относительно СК_i-1 , то матрицу поворота СК_i относительно СК₀ можно представить в виде

_i

t_0i = П t_{k-1 k} = t₀₁ t₁₂ t_{23 …} t_{n-1 n}

^k=1

Матрицы сложных поворотов можно представить в рекуррентрной форме

 

t_0i = t_0i-1 t_{i-1 i} , i = 1,2,…,n.

 

 

Положение в пространстве СК_i относительно СК_i-1 можно задать, выполнив последовательно четыре поворота СК_i , – вокруг оси Z_i на угол s_iq_i , затем последовательно вокруг осей X _i`, Y _i``, Z _i```.

Поэтому матрица поворота СК_i относительно CК_i-1 может быть записана в виде

t _i-1i = t _i-1i (ось Z _i, угол s_iq_i)t _i-1i (осьX_i`,угол a_i)х

t _i-1i (осьY_i``,угол b_i)t _i-1i (ось Z_i```, угол g_i) .

 

Используя матрицу t _i-1i , можно определить координаты вектора, заданного в СК _i , в СК _i-1 :

 

a^(i-1) = t _{i-1 i} a⁽ⁱ⁾,

 

Обратное преобразование запишется так:

 

a⁽ⁱ⁾ = t _{i i-1 a}^(i-1) .

 

Матрицы t _{i-1 i} и t _{i i-1} связаны соотношениями

 

t _{i-1 i} = t^T _{i i-1} .

 

С учетом введенных в п.1.6.1 обозначений можно записать

 

t _{i i-1} = t_z(g_i)t_y(b_i)t_x(a_i)t_z(s_iq_i). (1.4)

 

t_z (s_iq_i) – матрица преобразования координат вектора, заданного в СК_i-1, в СК_i при повороте СК_i вокруг оси Z_i-1 на угол s_iq_i ,

t_x (a_i) – матрица преобразования координат вектора, заданного в СК_i-1 , в СК_i при повороте СК_i вокруг оси z _i ` (после предыдущего поворота СК_i), на угол a_i ,

t_y (b_i) – матрица преобразования координат вектора, заданного в СК_i-1 , в СК_i при повороте СК_i вокруг оси y _i `` (после двух предыдущих поворотов) на угол b_i ,

t_z (g_i) – матрица преобразования координат вектора, заданного в СК_i-1 , в СК_i при повороте СК_i вокруг оси z _i ``` (после трех предыдущих поворотов) на угол g_i.

Матрица t_z(g_i)t_y(b_i)t_x(a_i) = const. Обозначив e_i = t_z(g_i)t_y(b_i)t_x(a_i), выражение для t _{ii -1} можно представить в виде

 

t _{ii -1} = e_i t_z(s_iq_i).

 

Обратная матрица (матрица поворота СК_i) имеет вид

 

t _{i –1i} = t_z^T(s_iq_i)t_x^T(a_i)t_y^T(b_i)t_z^T(g_i) = t_ii-1^T = t_z^T(s_iq_i)e_i^T.

 

Таким образом, матрица преобразования систем координат смежных звнеьев является функцией одной переменной – i-й обобщенной координаты ИМ и четырех постоянных величин – индикатора типа i-го сочленения и 3-х конструктивных параметров – углов установки оси сочленения i относительно оси (i-1)-го сочленения.

 

 

Матрицу t_ij (j > i) нетрудно получить по аналогии с t_0i , заменив 0->i и i->j:

_j

t_ij = П t_{k-1 k} .

^k=>i+1

(перемножение матриц t_{k-1 k} “слева направо”).

 

Матрицу t_ji (j > i) нетрудно получить по аналогии с t_i0 , заменив 0->i и i->j:

_j

t_ji = П t_{k k-1} .

^k<=i+1

(перемножение матриц t_{k-1 k} “справа налево”).

 

Матрицы t_ij и t_ji связаны между собой соотношениями:

 

t_ij = t_ji^-1 = t^T_ji.

В самом деле,

_{j j j}

(t_ij)^-1 = ( П t_{k-1 k} )^-1 = П (t_{k-1 k} )^-1 = П t_{k k-1} = t_ji.