Матрицы композиции элементарных поворотов
Матрицы поворота вокруг одной координатной оси (матрицы элементарных поворотов).
Вектор
a(uvw) = au iu + av jv + aw kw .
где
ax , ay , az - проекции вектора a(xyz) на оси x, y, z ,
ix , jy , kz - орты осей СК {xyz},
au , av , aw - проекции вектора a(uvw) на оси u, ν, w,
iu , jv , kw - орты осей СК {u ν w}.
Очевидно, что
ax = ix (au iu + av jv + aw kw)
ay = jy (au iu + av jv + aw kw)
az = kz (au iu + av jv + aw kw)
или
| ax ay az |T = | iu ix jν ix kw ix | | au aν aw |T = t xyz , uvw | au aν aw |T.
| iu jy jν jy kw jy |
| iu kz jν kz kw kz|
Матрицы txyz,uvw устанавливают соответствие между координатами одного и того же вектора a, но в различных СК. Из последнего выражения видно, что столбцы матрицы преобразования txyz,uvw есть проекции ортов iu , jv , kw СК (uvw) на оси СК (xyz). Таким образом, столбцы этой матрицы определяют новые координаты ортов iu , jv , kw повернутой СК (uvw) в исходной СК (xyz) после поворота СК (uvw) относительно СК СК (xyz). Поэтому матрицу txyz,uvw можно рассматривать как оператор поворота системы координат СК (uvw) относительно СК (xyz).
Пусть, как и прежде, в исходном положении СК (uvw) и СК (xyz) совпадают. Тогда координаты некоторого вектора а относительно СК (xyz), т.е. a(xyz) и СК (uvw), т.е. a(uvw), также совпадают. Пусть вектор a(uvw) связан с СК (uvw). Как это было показано выше, оператор txyz,uvw осуществляет поворот СК (uvw) относительно СК (xyz). Тогда вектор a(uvw) повернется вместе с СК (uvw). После такого поворота координаты вектора относительно СК (xyz) приобретут новые значения a(xyz), т.е. это будут уже координаты повернутого вектора. В этом смысле матрицу txyz,uvw можно рассматривать как оператор поворота СК (uvw) вместе со связанным с ней вектором. Обращаясь к рис. 5, отметим, что в случае преобразования с матрицей txyz,uvw вектор аизображен в положении послеповорота.
Такми образом, матрицы txyz,uvw - операторы поворота СК (СК (uvw) относительно СК (xyz)) и связанных с ней, т.е. с СК (uvw), векторов.
В дальнейшем эти матрицы мы будем называть матрицами поворота.
Обратные преобразования устанавливаются из рассмотрения аналогичных соотношений, а именно:
au = iu (ax ix + ay jy + az kz),
aν = jν (ax ix + ay jy + az kz),
aw = kw (ax ix + ay jy + az kz)
или
| au aν aw |T = | iu ix iu jy iu kz | | ax ay az |T = t uvw , xyz | ax ay az |T.
| jν ix jν jy jν kz |
| kw ix kw jy kw kz|
Из сравнения двух последних равенств следует, что
t uvw , xyz = t-1 xyz , uvw = t T xyz , uvw
Матрица t uvw, xyz преобразует координаты вектора, заданного в СК (xyz), в СК(uvw) при повороте системы координат СК(uvw) относительно СК (xyz). Отметим, что, как и прежде, рассматривается поворот именно СК(uvw) относительно СК (xyz), но не наоборот. При таком преобразовании вектор a остается неподвижным. Обращаясь к рис. 5, отметим, что в случае преобразования с матрицей txyz,uvw вектор асвязан с неподвижной СК.
В силу того, что t uvw, xyz матрица ортогонального ортонормированного преобразования, det t uvw, хyz = 1. Именно +1, поскольку преобразование применяется по отношению к правым СК.
Получим выражения для расчета матриц поворота вокруг одной из осей.
А) поворот СК {uvw} вокруг оси x СК {xyz} (ось u СК {uvw}) на угол a (рис.1.6):
| |||
| |||
Рис.1.6. Поворот вокруг оси х
| iu ix jν ix kw ix | | 1 0 0 |
t xyz, uvw (ось х, угол a) = | iu jy jν jy kw jy | = | 0 cos a - sina | .
| iu kz jν kz kw kz| | 0 sina cosa |
Матрица обратного преобразования имеет вид
| 1 0 0 |
t uvw, xyz (ось х, угол a) = | 0 cos a sina | .
| 0 - sina cosa |
В дальнейшем матрицу tuvw,xyz(ось х, угол a) для краткости будем записывать так
t uvw, xyz (ось х, угол a) = t x (a);
Б) поворот СК {uvw} вокруг оси y СК {xyz} (ось v СК {uvw}) на угол b (Рис.1.7):
| |||
| |||
Рис.1.7. Поворот вокруг оси y
| iu ix jν ix kw ix | | cosb 0 sinb |
t xyz, uvw (ось y, угол b)= | iu jy jν jy kw jy | = | 0 1 0 |
| iu kz jν kz kw kz | | - sinb 0 cosb |
Матрица обратного преобразования
| cosb 0 - sinb |
t uvw, xyz, (ось y, угол b) = | 0 1 0 |
| sinb 0 cosb |
Для краткости матрицe t uvw, xyz, (ось y, угол b) будем записывать в виде
t uvw, xyz (ось y, угол b) = t y (b);
В) поворот СК {uvw} вокруг оси z СК {xyz} (ось w СК {uvw}) на угол ¡ (рис.1.8):
| |||
| |||
Рис.1.8. Поворот вокруг оси z
| iu ix jν ix kw ix | | cosg - sing 0 |
t xyz, uvw (ось z, угол g)= | iu jy jν jy kw jy | = | sing cosg 0 | .
| iu kz jν kz kw kz | | 0 0 1 |
Матрица обратного преобразования
| cosg sing 0 |
t uvw, xyz (ось z, угол g) = | -sing cosg 0 | .
| 0 0 1 |
Для краткости матрицу t uvw, xyz (ось z, угол g) будем записывать в виде
t uvw, xyz (ось z, угол g) = tz (g)
Любой пространственный поворот СК можно представить как композицию трех элементарных поворотов. Так например, если СК {uvw} образована в результаты выполнения трех последовательных поворотов относительно СК {xyz}: вначале – вокруг оси х (новую СК обозначим {uv`w`}), затем (после первого поворота) – вокруг оси v` (новую СК обозначим {u`v`w``}), затем (после двух первых поворотов – вокруг оси w`` - СК {u``v``w``}), то матрица композиции этих преобразований может быть получена путем перемножения матриц элементарных поворотов, так
t xyz, uvw = t xyz, uvw (СК {uvw}, ось u, угол a) t xyz, uvw (СК {uvw}, ось v`, угол b) t xyz, uvw (СК {uvw}, ось w``, угол g)
Отметим, что последовательность элементарных поворотов может быть различной (например: вначале v, затем u, затем w). Поэтому при определении матрицы композиции преобразований нужно указывать последовательность применения преобразований.
При написании последовательности операторов поворота учитываем, что осуществляются последовательные повороты СК {uvw} вместе с закреплённым с ней вектором относительно СК {xyz} в заданном порядке (ось u, ось v`, ось w``), но координаты векторов из СК {uvw} к СК {xyz} преобразуются в обратном порядке! Поэтому матрица первого поворота – самая первая слева (последнее преобразование вектора из СК {uvw} в СК {xyz}). Матрица последнего поворотоа – самая последняя слева (первое преобразование вектора из СК {uvw} в СК {xyz}).
Этот факт иллюстрирует рисунок 1.10. Зеленый цвет – последовательность поворотов СК. Синий – последовательность преобразований векторов, заданных координатами в подвижной СК, в неподвижную.
Рис. 1.10. Последовательности преобразований