Матрицы преобразований поворота

Обобщенные координаты ИМ

Обозначаются q_i , i = 1,2,…,n и служат для определения взаимного расположения звеньев. Используют следующие обозначения:

- q = {q_i} – вектор размера (nх1), в котором q_i = q_i , если i = [ВП], q_i = s_i , если i = [ПП]; i = 1,2,…,n.

Учет типа шарнира производится за счет множителя s_i :

 

q_i = s_iq_i + (1 - s_i) s_i . (1.1)

 

q_i отсчитывается при повороте звена i (относительно звена i-1) вокруг оси Z_i-1. Положительное значение q_i соответствует повороту звена i в таком направлении, когда X_i-1 -> Y_i-1 при наблюдении с “конца” оси Z_i-1.

s_i отсчитывается при перемещении звена i (относительно звена i-1) вдоль оси Z_i-1. Положительное значение s_i соответствует перемещению звена i в направлении оси Z_i-1.

Из выражения (1.1) следует, что q_i = s_iq_i , s_i = (1 - s_i) q_i .

 

 

 

При моделировании ИМ потребуется рассмотрение векторов в различных системах координат. Это связано с тем, что параметры звеньев ИМ задаются в связанных СК. Уравнения же движения ИМ составляются и рассматриваются в инерциальной (базовой) СК. Очевидно, в общем случае различные системы координет повернуты относительно друг друга. Поэтому координаты одного и того же вектора aв разных СК не будут совпадать (рис.1.5).

Пусть {0xyz} – некоторая СК.

Пусть {0uvw} – другая СК. Будем считать, что СК {0uvw} образована в результате некоторого поворота, или нескольких поворотов СК {0uvw} относительно СК {0xyz} из положения, когда СК {0xyz} и СК {0uvw} совпадали.

СК {0xyz} и СК {0uvw} могут быть связаны с разными звеньями СК {0xyz} и СК {0uvw}, например, со смежными звеньями: i-1 и i. В этом случае при определении относительного расположения этих звеньев будет считаться, что именно звено i певорачивается относительно звена i-1, но не наоборот! Если СК{0xyz} связана со звеном номер 0, а СК {0uvw} – со звеном i, то рассматривается поворот звена i относительно стойки.

Связь между значениями координат вектора aв СК {uvw} и СК {xyz} устанавливает следующее соотношение

 

a^(xyz) = t _{xyz, uvw} a^(uvw),

 

где t _{xyz, uvw} – матрица преобразования координат вектора, заданного в СК{uvw}, в систему координат СК{xyz}.

 

 

 

 

Рис. 1.5. Координаты вектора aв СК {xyz} и СК {uvw}.

 

 

Получим формулы для расчета матриц преобразования t _{xyz, uvw} .

Вектор a^(xyz) можно представить в следующем виде

 

a^(xyz) = a_x i_x + a_y j_y + a_z k_z .