Двухфакторные системы взаимосвязанных индексов
Индексы и их классификация
Тема 8. ИНДЕКСНЫЙ МОТОД В СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
8.1. Индексы и их классификация
8.2. Общие индексы количественных показателей
8.3. Общие индексы качественных показателей
8.4. Двухфакторные системы взаимосвязанных индексов
8.5. Индексный метод анализа динамики среднего уровня
8.6. Цепные и базисные методы
Под индексом в статистике понимают относительный показатель, характеризующий изменение величины какого-либо явления во времени, пространстве или по сравнению с любым эталоном (нормативом, планом, прогнозом и т. п.). Соответственно говорят об индексах динамики, территориальных индексах либо об индексах выполнения планов, заданий, прогнозов и т. п.
Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина. Под индексируемой величиной понимают значение признака статистической совокупности, изменение которого является объектом изучения.
С помощью индексов решаются три главные задачи:
1) оценка изменения сложного явления;
2) определение влияния отдельных факторов на изменение сложного явления;
3) сравнение величины какого-то явления с величиной прошлого периода, величиной по другой территории, а также с нормативами, планами, прогнозами.
Индексы классифицируют по трем признакам:
1) по содержанию индексируемых величии;
2) по степени охвата элементов совокупности;
3) по методам расчета общих индексов.
По содержанию индексируемых величии индексы разделяются на индексы количественных (объемных) показателей и индексы качественных показателей. Индексы количественных
показателей -индексы физического объема промышленной продукции, физического объема продаж, численности и др. Индексируемые показатели этих индексов являются объемными. Индексы качественных показателей - индексы цен, себестоимости, производительности труда, средней заработной платы и др. Индексируемые показатели этих индексов характеризуют уровень явления в расчете на количественно измеримую единицу совокупности: цена за единицу продукции, выработка в единицу времени (или на одного работника), себестоимость единицы продукции, заработная плата одного работника и т. д. Такие показатели называются качественными. Они измеряют не общий объем, а интенсивность и эффективность явления или процесса.
По степени охвата единиц совокупности индексы делятся на два класса: индивидуальные и общие. Для их характеристики введем следующие условные обозначения, принятые в практике применения индексного метода:
q - количество (объем) какого-либо продукта в натуральном выражении;
p - цена единицы продукции;
z - себестоимость единицы продукции;
t - затраты времени на производство единицы продукции (трудоемкость);
w - выработка продукции в стоимостном выражении в единицу времени;
v - выработка продукции в натуральном выражении в единицу времени;
T - общие затраты времени или численность работников.
Для того чтобы различать, к какому периоду или объекту относятся индексируемые величины, принято справа внизу за соответствующим символом ставить подстрочные знаки. Так, например, в индексах динамики, как правило, для сравниваемых (текущих, отчетных) периодов используется подстрочный знак 1 и для периодов, с которыми производится сравнение, - 0. Если изменение явления изучается за ряд периодов, то каждый из них обозначается соответственно подстрочными знаками 0,1,2,3 и т. д.
Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления (например, изменение объема выпуска продукции одного вида). Они представляют собой относительные величины динамики, выполнения обязательств, сравнения. Выбор базы сравнения определяется целью исследования. Индивидуальные индексы обозначаются i и снабжаются подстрочным знаком индексируемого показателя (например, ip или iq). Расчет индивидуальных индексов основан на вычислении соотношения двух индексируемых величин. Например, индивидуальный индекс цен рассчитывается следующим образом (8,1):
Индивидуальный индекс физического объема продукции определяется (8,2):
С аналитической точки зрения приведенные индивидуальные индексы динамики аналогичны коэффициентам (темпам) роста и характеризуют изменение индексируемой величины в текущем периоде по сравнению с базисным, т. е. показывают, во сколько раз она возросла (уменьшилась) или сколько процентов составляет ее рост (снижение). Значения индексов выражают в коэффициентах или процентах. Если из значения индекса, выраженного в процентах, вычесть 100%, т. е. (i- 100), то полученная разность покажет, на сколько процентов возросла (уменьшилась) индексируемая величина. Так, если в предыдущем (базисном) периоде цена одной единицы продукции составляла 150 тыс. руб., а в текущем периоде — 170 тыс. руб., то ip=170/150=1,14, или 114%, т. е. цена на продукцию повысилась 14% (114-100).
Общий (сводный) индекс отражает изменение всех элементов сложного явления. При этом под сложным явлением понимают такую статистическую совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию (физический объем продукции предприятия, включающий разноименные товары; цены на разные группы продуктов и т. д.). Если индексы охватывают не все элементы сложного явления, а их часть, то их называют групповыми или субиндексами (например, индексы физического объема по отдельным группам продукции предприятия). Отметим, что в статистике применяются в основном общие и групповые индексы, построение и расчет которых и являются основным содержанием методологии индексного метода. Общий индекс обозначается буквой I и также сопровождается подстрочным значком индексируемого показателя. Например, IР - общий индекс цен, Iz - общий индекс себестоимости.
Методика расчета общих индексов различна в зависимости от характера индексируемых показателей, наличия исходных данных и целей исследования. Общие индексы должны быть построены двумя способами: как агрегатные и как средние из индивидуальных. Последние, в свою очередь, делятся на средние арифметические и средние гармонические.
Агрегатный индекс является основной формой индекса. Агрегатным он называется потому, что его числитель и знаменатель представляют собой набор «агрегат» (от латинского agregatus - складываемый, суммируемый), включающий непосредственно несоизмеримые и неподдающиеся суммированию элементы. Агрегатные индексы качественных показателей могут быть рассчитаны как индексы переменного состава и индексы постоянного (фиксированного) состава. В индексах переменного состава сопоставляются показатели, рассчитанные на базе изменяющихся структур явлений, а в индексах постоянного состава – на базе неизменной структуры. Методика расчета каждого из перечисленных видов индексов будет рассмотрена ниже.
8.2. Общие индексы количественных показателей
Типичным индексом количественных показателей является индекс физического объема. Сложность при построении этого индекса заключается в том, что объемы разных видов продукции в натуральном выражении несоизмеримы и непосредственно суммироваться не могут. Нельзя, например, складывать количество столов и количество стульев. Причиной несоизмеримости является неоднородность продукции - различие натуральной формы и свойств. В связи с этим для разнородной продукции индекс физического объема нельзя построить и вычислить как отношение простых сумм их объемов.
Единство различных видов продукции состоит в том, что они являются продуктами общественного труда, имеют определенную стоимость и ее денежный соизмеритель - цену (р). Каждый продукт имеет также себестоимость (z) и трудоемкость (t). Эти качественные показатели и могут быть использованы как мера или коэффициент соизмерения разнородных продуктов. Умножая объем продукции (q)на соответствующую цену (p), либо себестоимость (z) либо трудоемкость (t) единицы продукции, получают сравнимые показатели, которые можно суммировать (qp, qz, qt=T). Показатели-сомножители, связанные с индексируемыми величинами, принято называть весами индексов или соизмерителями, а умножение на них - взвешиванием. Отметим, что при построении индексов соизмеритель всегда указывается на втором месте (после индексируемой величины).
Таким образом, если, например, количество произведенной продукции умножить на цену, используемую в качестве соизмерите, мы получим стоимостное, «ценностное», выражение продукции каждого вида, которое допускает суммирование. Отношение стоимости продукции отчетного периода 
к стоимости продукции базисного периода 
представляет собой агрегатный индекс стоимости продукции(8,3):
Этот индекс показывает, во сколько раз изменилась стоимость продукции отчетного периода по сравнению с базисным или сколько процентов составляет стоимость продукции отчетного периода от стоимости продукции базисного периода.
Изменение стоимости продукции зависит от двух факторов: изменения количества продукции и изменения цен. Для того чтобы индекс охарактеризовал изменение только одного фактора, в нашем случае физического объема, необходимо устранить (элиминировать) влияние другого фактора, зафиксировав его как в числителе, так и в знаменателе на уровне одного и того же периода. Так, если продукцию сравниваемых периодов оценивать по одним и тем же, например базисным р0 ценам, то можно построить следующий агрегатный индекс физического объема (8.4):
где 
- условная стоимость продукции отчетного периода, исчисленная в ценах базисного периода;
- фактическая стоимость продукции, произведенной в базисном периоде.
Индекс физического объема отражает изменение только одного фактора - индексируемого показателя q - и показывает, во сколько раз изменился физический объем в отчетном периоде по сравнению с базисным.
Разность числителя и знаменателя индекса дает абсолютный прирост стоимости продукции, обусловленный изменением ее физического объема (8,5):
При построении агрегатного индекса физического объема произведенной продукции в качестве соизмерителя может быть использована себестоимость единицы продукции базисного периода z0 (8,6):
Разность числителя и знаменателя индекса дает абсолютный прирост затрат на производство продукции, обусловленный изменением ее физического объема (8,7):
При построении агрегатных индексов количественных показателей необходимо придерживаться следующего правила: веса индекса, или соизмерители, которые всегда являются качественными показателями, фиксируются на уровне базисного периода.
Пример. По данным о производстве продукции предприятием требуется определить индивидуальные индексы физического объема и общий индекс физического объема.
| Вид продукции | Выработано продукции, шт. | Цена за единицу продукции, тыс. руб. | ||
| Базисный период q0 | Отчетный период q1 | Базисный период p0 | Отчетный период p1 | |
| А Б В | 500 200 600 | 500 240 420 | 15 10 25 | 14 11 30 |
Рассчитаем индивидуальные индексы физического объема по каждому виду продукции:
Индивидуальные индексы показывают, что в отчетном периоде выпуск продукции А остался на уровне базисного года, продукции Б -увеличился на 20%,а продукции В - снизился на 30%.
Рассчитаем общий индекс физического объема продукции:
Следовательно, физический объем всей продукции в отчетном периоде составляет 83,33% от его уровня в базисном периоде, т.е. он снизился за это время на 16,67% (0,8333*100—100).
Агрегатный способ исчисления общих индексов в статистике является основным и наиболее распространенным. Вместе с тем применяется и другой способ расчета общих индексов как средних из соответствующих индивидуальных индексов. К исчислению таких средневзвешенных индексов прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать агрегатный индекс. Исходной базой построения средневзвешенного индекса физического объема продукции служит его агрегатная форма. Учитывая, что iq=q1/q0 , можно записать следующую формулу среднего арифметического индекса физического объема продукции (8,8):
По аналогии можно записать средний гармонический индекс физического объема (8,9):
Пример. По имеющимся данным требуется рассчитать общий индекс физического объема продукции предприятия в отчетном периоде по сравнению с базисным.
| Вид продукции | Индивидуальный индекс физического объема | Стоимость продукции в базисном периоде, млн. руб. |
| ip | q0p0 | |
| А Б В | 1,10 0,90 0,75 |
Исходные данные говорят об отсутствии информации, определяющей числитель агрегатного индекса физического объема, т. е. 
. Поэтому в данном случае есть смысл применения индекса другой формы, в частности среднего арифметического индекса физического объема:
Таким образом, физический объем продукции в отчетном периоде составил 90% от уровня базисного периода, т.е. сократился на 10%.
8.3. Общие индексы качественных показателей
Как уже отмечалось, каждый количественный показатель связан с тем или иным качественным показателем и, наоборот, каждый качественный показатель связан с каким-либо количественным показателем. Так, с объемом произведенной продукции (q) связаны такие качественные показатели, как цена (p), себестоимость (z) и трудоемкость (t).
Рассмотрим принципы построения агрегатных индексов качественных показателей. Индексируемой величиной в этом случае выступает качественный показатель, а соизмерителем - связанный с ним количественный. При построении качественных индексов соизмерите, как правило, применяются зафиксированными на уровне текущего (отчетного) периода.
Агрегатный индекс цен с отчетными весами известен в статистике как индекс Пааше и записывается следующим образом (8,10):
где 
- фактическая стоимость продукции отчетного периода;
- стоимость продукции отчетного периода в ценах базисного.
Общий индекс цен, рассчитываемый по формуле Пааше, характеризует, во сколько раз возрос в среднем уровень цен на массу продукции, произведенной в отчетном периоде.
По аналогии с индексом цен запишем агрегатный индекс себестоимости (8,11):
Разность числителя и знаменателя индекса цен (себестоимости) представляет фактическую экономию (перерасход) от изменения цен (себестоимости) (8,12) и (8,13):
Отметим, что ???????????(дописать)??????????? Обязательным и зависит от сферы применения индекса. Так, в статистике помимо индекса Пааше известен также агрегатный индекс цен Ласпейреса с весами базисного периода (8,14):
Экономическое содержание индекса Ласпейреса отличается от индекса Пааше. Он показывает, на сколько бы изменились цены в четном периоде по сравнению с базисным по той продукции, которая была произведена в базисном периоде. Разность числителя и знаменателя индекса показывает экономию (перерасход), которую можно было бы получить от изменения цен, т.е. условную экономию или перерасход. (8,15)
До перехода к рыночным отношениям отечественная статистика отдавала предпочтение индексу цен Пааше. В условиях же высокой инфляции более предпочтительным является применение индекса Ласпейреса. Однако индекс Ласпейреса несет в себе тенденцию к завышению инфляции, тогда как индекс Пааше, наоборот, имеет тенденцию к ее занижению. Поэтому в ряде случаев используется индекс Фишера, который рассчитывается как среднее геометрическое из индексов цен Пааше и Ласпейреса (8,16):
Пример. По данным о продукции, проданной предприятием, требуется определить индивидуальные и агрегатные индексы цен Пааше и Ласпейреса.
| Вид продукции | Выработано продукции, шт. | Цена за единицу продукции, руб. | ||
| Базисный период | Отчетный период | Базисный период | Отчетный период | |
| q0 | q1 | p0 | p1 | |
| А Б В | 200 60 800 | 240 50 650 | 980 1450 400 | 1000 1500 420 |
Рассчитаем индивидуальные индексы цен:
Индивидуальные индексы показывают, что цены на продукцию А возросли на 2%, на Б – на 3,5% и на В – на 5%.
Агрегатный индекс цен Пааше
Агрегатный индекс цен Лайспейреса
Таким образом, индекс Пааше показывает, что цены на продукцию, проданную предприятием, выросли на 3,5%,индексЛаспейреса на 3,8%,индекс Фишера на 3,6%.
Как и в случае с индексами количественных показателей, наряду с агрегатными индексами качественных показателей могут быть построены средние взвешенные из индивидуальных, тождественные агрегатным.
Учитывая то, чтоip=p1/p0, можно записать средний арифметический и средний гармонический индексы цен, тождественные индексу Пааше (8,17):
Таким же образом можно получить средний арифметическийи средний гармонический индексы цен, тождественные индексу Ласпейреса (8,18):
Аналогично индексу цен могут быть построены индексы себестоимости продукции.
Пример. По данным о продаже продукции предприятием, требуется рассчитать свободный индекс цен.
| Вид продукции | Продано в отчетном периоде, млн. руб. p1q1 | Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, % |
| А Б | +3 +6 |
Исходя из условия, можно записать индивидуальные индексы цен:
Рассчитаем индекс цен по формуле среднего арифметического:
Таким образом, в отчетном периоде по сравнению с базисным цены повысились в среднем на 4,6%.
Связь между экономическими показателями находит отражение во взаимосвязи их индексов, т. е. если z=yx , то и Iz=IyIх ,а если z=y/x,то Iz=Iz/Ix .Индексы экономических показателей, тесно связанные между собой, образуют индексные системы. Системы взаимосвязанных индексов дают возможность для проведения анализа с целью определения роли отдельных факторов.
Двухфакторные системы индексов предполагают обязательное наличие факторного индекса качественного показателя и факторного индекса количественного показателя. Так, индексы цен и физического объема являются факторными по отношению к индексу стоимости продукции (8,19) или (8,20):
или
Как известно, индексы характеризуют относительное изменение изучаемых показателей, в том числе за счет влияния отдельных факторов, и в то же время они позволяют определить абсолютное изменение результативного показателя, в том числе обусловленное влиянием факторов (8,21), (8,22) и (8,23), (8,24):
Пример. По данным о производстве продукции предприятием определить общий индекс физического объема, общий индекс цен и общий индекс стоимости; а также абсолютное изменение стоимости, в том числе за счет изменения факторов (физического объема и цен на продукцию).
| Вид продукции | Выработано продукции, тыс. м3 | Цена за 1 м3 продукции, тыс. руб. | ||
| Базисный период | Отчетный период | Базисный период | Отчетный период | |
| q0 | q1 | p0 | p1 | |
| А Б В |
Рассчитаем общий индекс физического объема продукции:
Следовательно, физический объем продукции предприятия в отчетном периоде снизился на 5,6% по сравнению с базисным.
Общий индекс цен:
Следовательно, за этот период цены на продукцию предприятия увеличились на 8,5%.
Общий индекс стоимости:
Таким образом, стоимость продукции выросла на 2,4% при росте цен на продукцию на 8,5% и сокращении физического объема на 5,6%. Произведем проверку вычислений:
Определим абсолютное изменение стоимости продукции за этот период:
В том числе за счет изменения физического объема:
Изменения цен на продукцию:
Таким образом, за исследуемый период стоимость всей продукции в целом выросла на 760 млн.руб. Изменение физического объема уменьшило стоимость продукции на 1800 млн. руб., а рост цен увеличил ее на 2560 млн.руб.
Аналогично можно представить взаимосвязь междуиндексамзатрат на производство (Izq), себестоимости единицы продукции (Iz) и физического объема продукции (Iq) (8,25) или (8,26):
Или
Взаимосвязь индексов фонда оплаты труда (IWT), численности работников (IT) и средней заработанной платы (IW) можно представить (8,27) или (8,28):
Или
8.5. Индексный метод анализа динамики среднего уровня
Экономические явления часто характеризуются с помощью средних величин. В частности, все качественные показатели, как правило, выражаются в виде средних: средняя цена единицы продукции (
), средняя себестоимость единицы изделия (
), средняя заработная плата одного рабочего (), выработка продукции в среднем на одного работника (
), средняя трудоемкость одного изделия (
) и т.п. Для изучения динамики таких показателей в статистической практике применяются индексы средних величин (средних уровней).
Рассмотрим построение этих индексов на примере динамики средней трудоемкости единицы продукции (средних затрат времени на единицу продукции) (8,31):
где t0 и t1 - уровни трудоемкости единицы продукции соответственно за базисный и отчетный периоды;
q0 и q1 - количество единиц той же продукции соответственно за базисный и отчетный периоды.
Этот индекс называется индексом среднего уровня или индексом переменного состава. Он характеризует изменение среднего уровня в целом за счет двух факторов: изменения осредняемых уровней (индексируемой величины) и влияния структурных сдвигов, т. е. изменения удельных весов единиц совокупности с различным уровнем значений индексируемого признака. Поэтому индекс переменного состава можно разложить на два индекса-сомножителя, каждый из которых отражает влияние только одного из факторов, определяющих средний уровень.
Первый индекс-сомножитель отражает изменение только индексируемой величины, а веса берутся постоянные (фиксированные), по отчетному периоду (8,32):
Этот индекс называется индексом постоянного (фиксированного) состава. Он показывает, как изменяется средний уровень изучаемого показателя только за счет изменения непосредственно индексируемой величины (t).
Второй индекс-сомножитель отражает изменение только структуры (состава) изучаемой совокупности, а уровни осредняемого показателя остаются неизменными (постоянными) и берутся по базисному периоду (8,33):
Этот индекс называют индексом структурных сдвигов. Он отражает изменение среднего уровня изучаемого показателя только за счет влияния структурных сдвигов.
Таким образом, система взаимосвязанныхиндексов, в которой индекс динамикисредней величины (
) является произведением индекса в постоянной (неизменной) структуре (It) и индекса,характеризующего влияние изменения структуры явления на динамику средней величины (Iстр.сдв.), в общем видезаписывается так (8,34):
Поэтому индекс структурных сдвигов часто рассчитывают как частноеот деления индекса переменного состава на индекс постоянного (фиксированного) состава.
Используя индексы средних величин, можно определить не только относительное влияние факторов, но и абсолютное изменение уровня среднего показателя (средней трудоемкости единицы продукции 
) за счет изменения уровней осредняемого признака (индивидуальных уровней трудоемкости 
) и за счет изменения структуры (удельных весов 
). Для этого необходимо из числителя соответствующего индекса приведенной системы индексов вычесть знаменатель (8,35), (8,36) и (8,37):
Индексы средних величин можно рассчитать и другим способом, взяв в качестве весов не абсолютные показатели (qi), а относительные величины структуры, т. е. их удельные веса (di), которые рассчитываются делением соответствующих частей совокупности (qi) ва всю совокупность (
). Тогда индекс переменного состава будет определяться по такой формуле (8,38):
Где d0 и d1 - удельные веса количества продукции соответственно за базисный и отчетный периоды.
Индекс трудоемкости единицы продукции постоянного состава будет равен (8,40):
Индекс структурных сдвигов (8,41):
Пример. Способы расчета индексов средних величин рассмотрим на условном примере динамики средней трудоемкости единицы продукции.
| Участок | Трудоемкость одного изделия, ч. | Выработано продукции | Индивидуальные индексы трудоемкости единицы продукции
| ||||
| Базисный период, t0 | Отчетный период, t1 | Базисный период | Отчетный период | ||||
| тыс. шт., q0 | % к итогу, d0 | тыс. шт., q1 | % к итогу, d1 | ||||
| 1 2 Итого | 4,0 2,5 - | 3,2 2,4 - | 4,0 2,4 10,0 | 40,0 60,0 100,0 | 7,2 4,8 12,0 | 60,0 40,0 100,0 | 0,80 0,96 - |
Для расчета индекса переменного состава исчислим среднюю трудоемкость единицы продукции в базисном и отчетном периодах. Средняя продуктивность единицы продукции выражается как отношение общих затрат времени на производство данной продукции к общему ее количеству. Средняя трудоемкость в базисном периоде (
) равна:
В отчетном периоде (
):
Отношение средней трудоемкости в отчетном периоде к средней трудоемкости в базисном дает индекс переменного состава ():
В отчетном периоде по сравнению с базисным средняя трудоемкость единицы продукции в цехе снизилась на 7,1%, в то время как на первом участке она снизилась на 20,0%, а на втором – на 4,0%. Поэтому определим влияние факторов, обусловивших снижение средней трудоемкости. Для этого рассчитаем, какой оказалась бы средняя трудоемкость единицы продукции в базисном периоде, скорректированная на структуру фактического выпуска продукции, т. е. рассчитанная по продукции отчетного периода (
):
Вычислим индекс постоянного состава, не учитывающий влияние изменения структуры выпускаемой продукции:
Средняя трудоемкость единицы продукции в отчетном по сравнению с базисным периодом снизилась на 15,3% только за счет снижения трудоемкости изделий на каждом участке.
Рассчитаем индекс влияния структурных сдвигов:
Следовательно, вследствие того, что в отчетном периоде по сравнению с базисным удельный вес продукции, выпускаемой на участке № 1 и имеющей более высокую трудоемкость, увеличился на 20 пунктов и соответственно сократился удельный вес продукции участка №2 с более низкой трудоемкостью, средняя трудоемкость единицы продукции увеличилась на 9,7%.
Проверим правильность расчета индексов через их взаимосвязь:
Или
Т.е. 0,929=0,847*1,097
Такие же результаты получим, если рассчитаем индексы вторым способом, т. е. используя в качестве соизмерителей удельные веса:
Рассчитаем абсолютное изменение средней трудоемкости единицы продукции и разложим его по факторам:
Таким образом, средняя трудоемкость единицы продукции снизилась в отчетном периоде по сравнению с базисным на 0,22 ч., в том числе за счет снижения трудоемкости изделий на отдельных участках – на 0,52% , но из-за увеличения удельного веса более трудоемкой продукции средняя трудоемкость возросла на 0,3 ч.
8.6. Цепные и базисные индексы
Во всех рассмотренных выше индексах сравнивались данные за два периода времени: базисный и отчетный. Однако для более глубокого изучения динамики экономических явлений, определения закономерностей и тенденций их развития проводятся индексные сопоставления за ряд последовательных периодов. В этом случае рассчитывается система цепных и базисных индексов.
Базисными индексами называется система последовательно вычисленных индексов одного и того же явления, характеризующих его изменение по отношению к постоянной базе, т. е. в качестве знаменателя всех рассчитываемых индексов берется индексируемая величина базисного периода. Цепными индексами называется система индексов одного и того же явления, показывающих изменение его по отношению к меняющейся базе, т. е. каждая индексируемая величина сравнивается с предшествующей величиной.
Выбор системы индексов определяется задачами анализа. Для оценки скорости происходящих изменений от периода к периоду используют цепные индексы. Если же необходимо определить общее изменение экономического явления за конкретный исторический период, рассчитывают базисные индексы.
Система цепных и базисных индексов может быть исчислена как для отдельного элемента сложного явления (индивидуальные индексы), так и для всего сложного явления (общие индексы). Индивидуальные базисные и цепные индексы тождественны базисным и цепным относительным величинам динамики. Последовательное произведение n цепных индивидуальных индексов дает n-й базисный индекс, а отношение n-го базисного индивидуального индекса к предыдущему (n - 1) дает n-й цепной индекс.
При построении системы общих агрегатных цепных и базисных индексов одного и того же явления возникает вопрос о выборе весов (соизмерителей). В каждом отдельном общем индексе веса остаются неизменными, изменяется только индексируемая величина. Но если строить систему цепных или базисных агрегатных индексов, то веса в них могут быть либо одинаковыми (постоянными) для всех индексов, либо меняться от одного индекса к другому. Когда веса какого-либо одного периода (первоначального или базисного) постоянны для всех индексов, последние называются индексами с постоянными весами (соизмерителями), если веса меняются, говорят об индексах с переменными весами (соизмерителями).
Веса выбираются в зависимости от цели статистической работы и специфики изучаемого экономического явления. Переменные веса – это, как правило, веса отчетного (текущего) периода. С такими весами обычно строятся ряды агрегатных индексов качественных показателей: цены, себестоимости, трудоемкости единицы продукции и т. п. Это объясняется тем, что в агрегатных индексах таких показателей веса каждый раз принимаются на уровне отчетного периода, который для каждого индекса различный. Индексы с постоянными весами, как правило, строятся для количественных (объемных) показателей, что также согласуется с принципами построения агрегатных индексов.
Возьмем ряд анализируемых величин за n периодов:
цена единицы продукции p0 ,p1 ,p2 ,…,pn ,
количество единиц продукции q0 ,q1 ,q2 ,…,qn ,
и построим системы агрегатных факторных цепных и базисных индексов с переменными и постоянными весами.
Индексы цен с переменными весами:
Цепные (8,42):
Базисные (8,43):
Индексы физического объема продукции с постоянными весами:
Цепные (8,44):
Базисные (8,45):
Индексы с постоянными весами имеют некоторые особенности. В отличие от индексов с переменными весами постоянные веса позволяют исключить влияние изменения структуры на динамику индексируемой величины. Кроме того, индексы с постоянными весами можно сравнивать между собой, а также, используя их взаимосвязи, получать цепные индексы из базисных и наоборот, ибо, как и в случае с индивидуальными индексами, последовательное перемножение цепных индексов дает соответствующие базисные (8,46):
а отношение последующего базисного индекса к предыдущему дает цепной индекс, т. е.(8,47)
У индексов с переменными весами такие взаимосвязи отсутствуют.
Аналогично приведенным выше индексам цен и физического объема строятся ряды цепных и базисных индексов с переменными и постоянными весами и для других взаимосвязанных экономических показателей.
Пример. По исходным данным о производстве продукции предприятием за три года рассчитайте:
а) цепные и базисные индексы себестоимости с переменными весами;
б) цепные и базисные индексы физического объема с постоянными весами.
Покажите взаимосвязь между ними.
| Год | Продукции А | Продукции Б | ||
| Себестоимость 1т, тыс. руб., z | Произведено, тыс.т., q | Себестоимость 1т, тыс. руб., z | Произведено, тыс. т, q | |
| 2000 (0) | 24,0 | 162 | 13,5 | 98 |
| 2001 (1) | 31,5 | 194 | 15,0 | 112 |
| 2002 (2) | 36,0 | 181 | 21,5 | 123 |
а) цепные индексы себестоимости с переменными весами
Базисные индексы себестоимости с переменными весами:
Таким образом, себестоимость продукции предприятия по сравнению с предыдущим годом в 2001 г. увеличилась на 26,3%, в 2002 г. – на 21,4%. В целом за два года себестоимость продукции возросла на 52,6%.
б) Цепные индексы физического объема с постоянными весами:
Базисные индексы физического объема с постоянными весами:
Физический объем продукции по сравнению с предыдущим годом в 2001 г. увеличился на 18,4%, в 2002 г. - снизился на 2,7%. В целом за два года физический объем производства увеличился на 15,2%. При этом сохраняется соотношение между индексами (1,184*0,973=1,152).