Определение скорости и ускорения из уравнений движения точки в декартовых координатах

Пусть движение точки определяется уравнениями:

Требуется найти ее скорость и ускорение. Для этого найдем проекции скорости и ускорения на координатные оси. Скорость движущейся точки равна векторной производной от радиуса вектора этой точки по времени:

Отсюда на основании теоремы о проекции производной от данного вектора на ось, известно, что проекции скорости на координатные оси равны производным от проекций радиуса вектора на те же оси. Но проекции радиуса вектора на координатные оси представляют собой координаты движущейся точки. Следовательно, проекции скорости выражаются следующим образом:

Проекции скорости на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат движущейся точки по времени.

Эти производные находятся из уравнений движения точки по времени. Для модуля скорости получаем следующую формулу:

Чтобы определить направление вектора v, нужно найти его направляющие косинусы. Из равенств:

получим:

Аналогично можно найти модуль и направление ускорения . Из равенства следует, что проекция ускорения на какую-нибудь неподвижную ось равна производной по времени от проекции скорости на ту же ось. Следовательно,

Т.е. проекции ускорения на координатные оси равны вторым производным от соответствующих координат движущейся точки по времени.

Отсюда для модуля и направляющих косинусов вектора получим следующие формулы: