Обычное отношение, ближайшее к нечеткому

Дополнение отношения

Алгебраическая сумма двух отношений

Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1 R2 и определяется выражением

.

Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности

.

Пусть R – нечеткое отношение с функцией принадлежности . Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается , определяется выражением

По договоренности принимают при .

Композиция (свертка) двух нечетких отношений

Пусть R1 – нечеткое отношение R1: (X´Y)®[0,1] между X и Y, и R2 – нечеткое отношение R2: (Y´Z)®[0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R2· R1, определенное выражением

где символом обозначена операция выбора наибольшего по y значения, называемого (max-min)-композицией ((max-min)-сверткой) отношений R1 и R2.

Нечеткие выводы

Используемый в различного рода экспертных и управляющих системах механизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечетких предикатных правил вида

П1: если x есть А1, то y есть В1

П2: если x есть А2, то y есть В2

…

Пn: если x есть Аn, то y есть Вn

где x – входная переменная (имя для известных значений данных), y – переменная вывода (имя для значения данных, которое будет вычислено); А и В – функции принадлежности, определенные соответственно, на x и y.

Приведем более детальное пояснение. Знание эксперта А ® В отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключения, поэтому его можно назвать нечетким отношением и обозначить через R: R= А ® В, где «®» называют нечеткой импликацией.

Отношение R можно рассматривать как нечеткое подмножество прямого произведения X´Y полного множества предпосылок X и заключений Y. Таким образом, процесс получения (нечеткого) результата вывода В' с использованием данного наблюдения А' и знания А ® В можно представить в виде формулы

B’=A’·R=A’·( А ® В),

где «·» – введенная выше операция свертки.

Как операцию композиции, так и операцию импликации в алгебре нечетких множеств можно реализовывать по-разному (при этом, естественно, будет разниться и итоговый получаемый результат), но в любом случае общий логический вывод осуществляется за следующие четыре этапа.

1. Нечеткость (введение нечеткости, фаззификация, fuzzification). Функции принадлежности, определенные на входных переменных, применяются к их фактическим значениям для определения степени истинности каждой предпосылки каждого правила.

2. Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каждого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила. В качестве правил логического вывода обычно используются только операции min (минимум) или prod (умножение). В логическом выводе min функция принадлежности вывода «отсекается» по высоте, соответствующей вычисленной степени истинности предпосылки правила (нечеткая логика «И»). В логическом выводе prod функция принадлежности вывода масштабируется при помощи вычисленной степени истинности предпосылки правила.

3. Композиция. Нечеткие подмножества, назначенные для каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе, чтобы сформировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно используются операции max (максимум) или sum (сумма). При композиции max комбинированный вывод нечеткого подмножества конструируется как поточечный максимум по всем нечетким подмножествам (нечеткая логика «ИЛИ»). При композиции sum комбинированный вывод нечеткого подмножества конструируется как поточечная сумма по всем нечетким подмножествам, назначенным переменной вывода правилами логического вывода.

4. В заключение (дополнительно) — приведение к четкости (дефаз-зификация, denazification), которое используется, когда полезно преобразовать нечеткий набор выводов в четкое число.

Рассмотрим следующие наиболее употребительные модификации алгоритма нечеткого вывода, полагая, для простоты, что базу знаний организуют два нечетких правила вида

П1: если x есть А1 и y есть В1, тогда z есть С1

П2: если x есть А2 и y есть В2, тогда z есть С2

где x и y – имена входных переменных, z – имя переменной вывода, А1, А2, В1, В2, С1, С2 – некоторые заданные функции принадлежности, при этом четкое значение z0 необходимо определить на основе приведенной информации и четких значений x0 и y0.

Алгоритм Мамдани (Mamdani)

Данный алгоритм математически может быть описан следующим образом.

1. Нечеткость: находятся степени истинности для предпосылок каждого правила: А1(x0), A2(x0), B1(y0), B2(y0).

2. Нечеткий вывод: находятся уровни «отсечения» для предпосылок каждого из правил (с использованием операции min):

,

,

где знак «^», как и раньше, обозначена операция логического минимума (min), затем находятся усеченные функции принадлежности

,

.

3. Композиция: с использованием операции max (обозначаемой как «Ú») производится объединение найденных усеченных функций, что приводит к получению итогового нечеткого подмножества для переменной выхода с функцией принадлежности

.

4. Наконец, приведение к четкости (для нахождения z0) проводится, например, центроидным методом (как центр тяжести для кривой ):

Алгоритм иллюстрируется рис. 6.1.

Рис. 6.1 Иллюстрация к алгоритму Мамдани

Алгоритм Сугэно

Сугэно и Такаги использовали набор правил в следующей форме (как и раньше, приводим пример из двух правил):

П1: если x есть А1 и y есть В1, тогда z1 =a1x+b1y

П2: если x есть А2 и y есть В2, тогда z2 =a2x+b2y.

Представление алгоритма.

1. Первый этап – как в алгоритме Мамдани.

2. На втором этапе находятся , и индивидуальные выходы правил:

,

.

3. На третьем этапе определяется четкое значение переменной вывода:

.

Алгоритм иллюстрируется рис. 6.2.

Приведенное представление относится к алгоритму Сугэно 1-го порядка. Если правила записаны в форме

П1: если x есть А1 и y есть В1, тогда z1 = с1

П2: если x есть А2 и y есть В2, тогда z2 = с2

то говорят, что задан алгоритм Сугэно 0-го порядка.

Рис. 6.2 Иллюстрация к алгоритму Сугэно