Индексы согласия и несогласия
Основные этапы методов ЕLЕСТRЕ
Методы ЕLЕСТRЕ ранжирования многокритериальных альтернатив
Лекция 2 часа
В конце 60-х годов группа французских ученых во главе с проф. Б. Руа предложила подход к попарному сравнению многокритериальных альтернатив, не основанный на теории полезности. В отличие от МАUТ оценка каждой альтернативы является не абсолютной, а относительной (по сравнению с другой альтернативой). Так возник метод ЕLЕСТRЕ (исключение и выбор, отражающие реальность). В настоящее время разработан ряд методов семейства ЕLЕСТRЕ.
Методы ЕLЕСТRЕ направлены на решение задач с уже заданными многокритериальными альтернативами. Следовательно, они принадлежат к методам первой группы согласно приведенной выше классификации. В отличие от метода АНР в методах ЕLЕСТRЕ не определяется количественно показатель качества каждой из альтернатив, а устанавливается лишь условие превосходства одной альтернативы над другой.
Постановка задачи обычно имеет следующий вид:
Дано: N критериев со шкалами оценок (обычно количественные), веса критериев (обычно целые числа), альтернативы с оценками по критериям.
Требуется: выделить группу лучших альтернатив.
1. На основании заданных оценок двух альтернатив подсчитываются значения двух индексов: согласия и несогласия. Эти индексы определяют согласие и несогласие с гипотезой, что альтернатива А превосходит альтернативу В.
2. Задаются уровни согласия и несогласия, с которыми сравниваются подсчитанные индексы для каждой пары альтернатив. Если индекс согласия выше заданного уровня, а индекс несогласия — ниже, то одна из альтернатив превосходит другую. В противном случае альтернативы несравнимы.
3. Из множества альтернатив удаляются доминируемые. Оставшиеся образуют первое ядро. Альтернативы, входящие в ядро, могут быть либо эквивалентными либо несравнимыми.
4. Вводятся более «слабые» значения уровней согласия и несогласия (меньший по значению уровень согласия и больший уровень несогласия), при которых выделяются ядра с меньшим количеством альтернатив.
5. В последнее ядро входят наилучшие альтернативы. Последовательность ядер определяет упорядоченностьальтернативпо качеству.
Рассмотрим эти этапы подробнее, используя в качестве иллюстрации все тот же пример выбора площадки для постройки аэропорта.
В различных методах семейства ЕLЕСТRЕ индексы согласия и несогласия строятся по-разному. Основные идеи построения этих индексов далее будут показаны на примере метода ЕLЕСТRЕ.
Каждому из N критериев ставится в соответствие целое число р, характеризующее важность критерия. Б. Руа предложил рассматривать р как «число голосов» членов жюри, голосующих за важность данного критерия.
Выдвигается гипотеза о превосходстве альтернативы А над альтернативой В. Множество I, состоящее из N критериев, разбивается на три подмножества:
I+ — подмножество критериев, по которым А предпочтительнее В;
I= — подмножество критериев, по которым А равноценно В;
I- — подмножество критериев, по которым В предпочтительнее А.
Далее формулируется индекс согласия с гипотезой о превосходстве А над В. (В других методах семейства ЕLЕСТRЕ используются индексы сильного и слабого превосходства.)
Индекс согласия подсчитывается на основе весов критериев. Так, в методе ЕLЕСТRЕ этот индекс определяется как отношение суммы весов критериев подмножеств I+ и I= к общей сумме весов:
Индекс несогласия dAB с гипотезой о превосходстве А над В определяется на основе самого «противоречивого» критерия — критерия, по которому В в наибольшей степени превосходит А.
Чтобы учесть возможную разницу длин шкал критериев, разность оценок В и А относят к длине наибольшей шкалы:
где lAi, lBi — оценки альтернатив А и В по i- му критерию; Li — длина шкалы i-го критерия.
Укажем очевидные свойства индекса согласия:
1) 0 £ сAB £ 1;
2) сAB = 1, если подмножество I+ пусто;
3) сAB сохраняет значение при замене одного критерия на несколько с тем же общим весом.
Приведем свойства индекса несогласия:
1) 0 £ dAB £ 1;
2) dAB сохраняет значение при введении более детальной шкалы по i-му критерию при той же ее длине.
Введенные индексы используются при построении матриц индексов согласия и несогласия для заданных альтернатив.
Предположим, что в задаче выбора места для строительства аэропорта заданы альтернативы:
А ($180 млн, 70 мин., 10 тыс.); С ($160 млн, 55 мин., 20 тыс);
В ($170 млн, 40 мин., 15 тыс.); D ($150 млн, 50 мин.,25 тыс.).
Пусть веса критериев равны: w1 = 3; w2 = 2; w3 = 1. Сохраним те же длины шкал: L1 = 100; L2 = 50; L3 = 45.
Матрица индексов согласия приведена как табл. 11, а матрица индексов несогласия — как табл. 12.