Иерархическая композиция приоритетов. Этапы реализации МАИ

Лекция 2 часа

Проиллюстрируем способ построения иерархической композиции приоритетов на «задаче о выборе видеомагнитофонов».

По данным табл.3.7 из примера 3.6 определить результирующий вектор приоритетов для показателя т.е. по «Общей оценке качества ВМ», базируясь на качественных значениях показателей

Тогда иерархия общей оценки качества ВМ может быть представлена как на рис.4.1.

Рис.4.1. Иерархия общей оценки качества пяти моделей () ВМ

Произведем сравнение моделей относительно «Общей оценки качества ВМ», отождествляемой с целью процесса принятия решения.

Пусть эксперт, пользуясь шкалой табл.4.1, оценил относительную значимость показателей следующей обратносимметричной матрицей

. (4.12)

Это означает, что для рассматриваемых технических средств автономной консервации и воспроизведения с использованием телевизора для звуковой и визуальной информации эксперт, во-первых, отдал предпочтение результатам всестороннего (см. табл.3.6) и объективного
(с использованием соответствующей испытательной аппаратуры) тестирования моделей ВМ, т.е. показателю-, по сравнению субъективными (зрительным-и слуховым-) и сервисным-показателями. Во-вторых, более значимым для ВМ принимался показатель «Качество изображения» в сравнении с показателем «Качество звука». Оба они, в свою очередь, считались более важными при эксплуатации ВМ, чем показатель «Обслуживание».

Таким образом, для заполнения матрицы (4.12) эксперт предварительно определил для себя следующую схему принимаемых в дальнейшем приоритетов: .

Первая строка матрицы (4.12) уже задает меру на указанных отношениях строгого предпочтения по отношению к показателю . Вторая строка правее элемента главной диагонали матрицы задает по шкале табл.4.1 значимость отношений: (и) и (и ). Аналогичным образом заполнены и другие строки матрицы правее ее главной диагонали. Затем матрица описанным ранее путем была дополнена элементами, приводящими ее к виду обратносимметричной.

Тогда для матрицы (4.12) способ 4 приводит к следующему вектору-столбцу , который после нормализации (сумма элементов его равна 5,853) становится вектором приоритетов

. (4.13)

Соответствующее (4.13) собственное значение найдем из следующей последовательности ранее описанных действий

= .

Разделив элементы полученного результирующего вектора на соответствующие компоненты вектора приоритетов, получим главный собственный вектор исходной матрицы (4.12):

а его усреднение дает =4,301, что не так уж и далеко от согласованного решения,
равного 4,00.

Из (4.7) находим значение индекса согласованности

Воспользовавшись табл.4.2 для получим

. (4.14)

Найденное в (4.14) значение отношения согласованности превосходит (при принятой нами ранее точности в оценивании результатов) ее порог в 0,100 на величину 0,011, и, строго говоря, должно было бы привести к пересмотру назначенных экспертом оценок в исходной матрице (4.12) с целью большей их взаимной согласованности. Однако мы этого делать не станем, полагая, что для рассматриваемых целей значение может быть признано вполне приемлемым.

Чтобы получить общее ранжирование ВМ в иерархии МАИ воспользуемся следующими соображениями. Для формализации перехода от качественных показателей из табл.3.6 к количественным показателям шкалы отношений (см. табл.4.1), составим промежуточную табл.4.3, шкальными значениями которой будем в дальнейшем пользоваться.

Таблица 4.3.

Показатели	Хорошо	С недостатками	Удовлетворительно
Хорошо
С недостатками	1/3
Удовлетворительно	1/5	1/4

В соответствии с введенными нами степенями важности произведем попарное сравнение моделей ВМ из множества их альтернатив А=относительно четырех их характеристик

Тогда для показателя («Техническое испытание») будем иметь следующую таблицу- матрицу парных сравнений моделей ВМ.

- Техническое испытание

(4.15)

1/5

По аналогии с (4.15) последовательно опишем обратносимметричными матрицами парные сравнения моделей ВМ по показателям Тогда будем иметь:

- Качество изображения

(4.16)

1/5

1/4

1/5

1/4

1/3

1/5

1/4

- Качество звука

1/5

(4.17)

1/5

А	- Обслуживание



	1/5	1/5
	1/5	1/5
	1/5	1/5

Воспользовавшись способом 4 для матриц (4.15),…,(4.18), последовательно рассчитаем соответствующие векторы приоритетов.

Для матрицы (4.15) главным собственным вектором будет вектор-столбец нормализация которого дает вектор приоритетов:

(4.19)

Для матрицы (4.16) соответственно имеем главный собственный вектор и вектор приоритетов

(4.20)

По аналогии для матрицы (4.17) имеем требуемые два вектора-столбца:

;

(4.21)

Соответственно для матрицы (4.18) получим:

;

(4.22)

Умножим исходную матрицу (4.15) справа на соответствующий ей вектор приоритетов (4.19), тогда получим:

= .

Разделив компоненты полученного результирующего вектора на собственные компоненты вектора приоритетов, получим главный собственный вектор матрицы (4.19) ,но поскольку , то после усреднения получаем приближение к главному собственному значению =4,992.

Тогда отклонение от согласованности определится из (4.7) как

Из данных табл.4.2 при имеем значение случайного индекса 1,12. Поэтому из (4.11) отношение согласованности получим равным что соответствует хорошей согласованности суждений эксперта, отраженных в исходной матрице (4.15).

Произведя аналогичные действия с матрицей (4.16) и ее вектором приоритетов (4.20), получим

= .

Тогда главный собственный вектор матрицы (4.16) будет приближенно равен , а ее главное собственное значение =5,093. Откуда следует, что /(5-1)=0,023 и . Результаты расчета говорят о хорошей согласованности обратносимметричной матрицы (4.16).

Рассуждая аналогичным образом для матрицы (4.17) и ее вектора приоритетов (4.21), получим следующее равенство

с главным собственным вектором матрицы и значением =4,999.

Понятно, что значение в таком случае не превысит выбранный порог и свидетельствует о хорошей согласованности суждений эксперта, представленных значениями принятой шкалы отношений в матрице (4.17).

Проделав для матрицы (4.18) и ее вектора приоритетов (4.22) аналогичные вычисления, получим

с главным собственным вектором матрицы , соответствующим полной согласованности оценок в исходной матрице (4.18).

Выше мы получили вектор приоритетов, оценив качество экспертных суждений по критерию их формальной согласованности, в отдельности для каждого из двух уровней иерархии ситуации принятия решений (см. рис.4.1).

Для получения общей оценки качества отдельной модели ВМ необходимо, во-первых, умножить все оценки этой модели по некоторому показателю на «вес» этого показателя в рассматриваемой ситуации. Затем следует сложить значения, полученные для каждой модели ВМ по всем показателям.

Например, для модели ВМ значение(см. рис.4.1) есть относительный вес результатов технического испытания этой модели. Так как относительный вес технического испытания есть-, то общий вес технического испытания для модели будет равен . Таким же образом вычисляются значения . Следовательно, общая оценка качества для модели ВМ будет суммой общих весов упомянутых видов их испытаний, т.е. соответствует выражению вида +

Аналогичные рассуждения справедливы и для остальных моделей ВМ Это то же самое, что «взвесить» каждый из полученных выше четырех приоритетов соответствующей характеристики (параметра) и затем сложить их (что допустимо при независимости таких характеристик). Предыдущие рассуждения могут быть представлены в виде матрично-векторного произведения. При этом столбцами в такой обобщающей матрице будут являться полученные ранее векторы приоритетов в последовательности (4.19),…,(4.22). Тогда мы получим прямоугольную матрицу размером 45 элементов. Обозначим ее как Если такую матрицу справа умножить на вектор приоритетов верхнего уровня иерархии (4.13), то мы получим искомый результат (т.е. вектор-столбец, элементы которого ранжированы относительно поставленной в задаче цели):

Полученный здесь результат означает, что для принятия решения покупателем о целесообразности приобретения ВМ, между всеми рассматриваемыми альтернативами А, выявлены следующие отношения строгого предпочтения

. (4.23)

Определена мера общей оценки качества ВМ, адекватная рассматриваемой в задаче ситуации. И она задается следующим обобщающим вектором (с округлением элементов вектора до сотых долей) .

Как и в примере 3.6, принятие решения о приобретении ВМ модели Grundiq VS 900 как лучшего по потребительским свойствам не вызывает сомнений. Однако расстановка приоритетов между другими моделями ВМ в (4.23) имеет некоторые отличия по сравнению с методом мажоритарного выбора. Это вполне закономерно, поскольку сравниваемые показатели в МАИ не рассматриваются как равнозначные по важности. ▲

Будет полезным в заключение раздела привести краткое изложение этапов применения МАИ. Отдельным этапам можно уделять большее внимание в одних ситуациях принятия решений, чем в других. Содержание и последовательность этапов МАИ включает в себя следующие:

1. Очертить проблему и определить, что требуется решить в процессе управления.

2. Построить иерархию, начиная с вершины (цели– с точки зрения управления),через промежуточные уровни (критерии, от которых зависят последующие уровни) к самому нижнему уровню (который обычно является перечнем исходных альтернатив).

3. Построить множество парных сравнений для каждого из нижних уровней– по одной матрице для каждого элемента примыкающего сверху уровня. Этот элемент называют направляемым по отношению к элементу, находящемуся на нижнем уровне, так как элемент нижнего уровня влияет на расположенный выше элемент. В полной простой иерархии любой элемент воздействует на каждый элемент примыкающего сверху уровня. Элементы любого уровня сравниваются друг с другом относительно их воздействия на направляющий элемент. Таким образом, получается квадратная матрица суждений. Попарные сравнения проводятся в терминах доминирования одного из элементов над другим. Эти суждения затем выражаются в целых числах (см. табл.4.1 для величин суждений). Если элемент А доминирует над элементом В, то клетка, соответствующая строке А и столбцу В, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке В и столбцу А, заполняется обратным к нему числом (дробью). Если элемент В доминирует над элементом А, то происходит обратное: целое число ставится в позицию (В,А), а обратная величина автоматически заносится в позицию (А,В). Если считается, что А и В одинаковы, в обе позиции ставится единица.

4. На этапе 3 для получения каждой матрицы требуется n(n-1)/2 суждений (напомним, что при каждом парном сравнении автоматически приписываются обратные величины).

5. После проведения всех парных сравнений и ввода данных по собственному значению можно определить согласованность. Затем, используя отклонение от n, проверяется индекс согласованности ИС, далее, сравнивая с соответствующими средними значениями для случайных элементов по табл.4.2, получаем отношение согласованности ОС.

6. Этапы 3, 4 и 5 проводятся для всех уровней и групп в иерархии.

7. Используется иерархический синтез для взвешивания собственных векторов весами критериев и вычисляется сумма по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов уровня иерархии, лежащего ниже.

8. Согласованность всей иерархии можно найти, перемножая каждый индекс согласованности на приоритет соответствующего критерия и суммируя полученные числа. Результат затем делится на выражение такого же типа, но со случайным индексом согласованности, соответствующим размерам каждой взвешенной приоритетами матрицы. Отметим, во-первых, что приемлемым является значение ОС около 10% или менее. В противном случае качество суждений следует улучшить, возможно, пересмотрев способ, следуя которому задаются вопросы эксперту для пересмотра парных сравнений. Если это не поможет улучшить согласованность, то, вероятно, задачу следует более точно структурировать, т.е. сгруппировать аналогичные элементы под более значащими критериями. При этом потребуется возврат к этапу 2, хотя пересмотра могут потребовать только сомнительные части иерархии.

Отметим, что метод анализа иерархий использован многими авторами при решении прикладных задач различного характера [12, 13 14 и др.]. В последнее время этот метод модифицирован [3] в направлении более формализованного выявления и устранения несогласованности в суждениях экспертов.