Вычисление формул специального вида

1.7.3.1 Вычисление формул вида

Введём комплексное число . Из формулы Муавра-Лапласа вытекают равенства и , сложив их, получим . Из последнего равенства выводим , и далее по биному Ньютона . Положив , придём к равенству .

1.7.3.2 Вычисление формул вида

Введём комплексное число . Как и выше, выводим . Подставим в сумму . Для выполнения операции деления представим 1-z в тригонометрической форме: и аналогично . После выполнения преобразований придём к окончательной формуле

1.7.3.3 Вычисление формул вида .

Обозначим сумму через , где j=0,1,…,d-1, а через - первообразный корень степени d из 1. Тогда, легко проверить, , где j=0,1,…,d-1. Умножим каждое из равенств на и сложим. В результате получим равенство . Запишем в тригонометрической форме возведём в степень n и подставим: или, что .