Определение

Определение

Композиция

Декомпозиция (проективность)

Аддитивность (объединение)

Псевдотранзитивность

Если X  Y и YZ  W, то XZ  W

Пример:

Дано:

Следует:



Правило 3 является частным случаем правила 4, если принять Z = ∅.

Правила 1, 2 и 4 (или 1б 2 и 3) образуют функционально полный набор правил, с помощью которых можно вывести другие правила. Рассмотрим дополнительно еще некоторые правила.

Если X  Y и X  Z, то X  YZ

Пример:

Дано:

Следует:



Приведем доказательство.

Дано X  Y и X  Z. Требуется получить X  YZ.

В соответствии с правилом 2, из второго правила можно получить YX  YZ.

В соответствии с правилом 4, так как X  Y (по условию) и YX  YZ (выведено), имеем XX  YZ. (или X  YZ).

Если X  YZ, то X  Y и X  Z

Иллюстрирует данное правила пример, приведенный выше, в котором просто нужно поменять местами пометки «Дано:» и «Следует:».

Доказательство.

Дано: X  YZ. Требуется получить X  Y и X  Z.

В соответствии с правилом 1 YZ  Y и YZ  Z.

В соответствии с правилом 3 (частный случай правила 4), из X  YZ и YZ  Y следует X  Y; аналогично, из X  YZ и YZ  Z следует X  Z.

Если X  Y и Z  W, то XZ  YW

Пример:

Дано:

Следует:



Доказательство.

Дано: X  Y и Z  W. Требуется получить XZ  YW.

В соответствии с правилом 2 из X  Y следует XZ  YZ, а из Z  W следует YZ  YW.

В соответствии с правилом 3 из XZ  YZ и YZ  YW следует XZ  YW.

Определение ключа

Ключ отношения определяется на основе функциональных зависимостей.

Рассмотрим некоторые определения.

Множество атрибутов Y функционально полно зависит от атрибутов X, если Y функционально зависит от X и не зависит функционально от любого собственного подмножества X.

Другими словами, если есть X  Y, то для любого Z ⊂ X нет зависимости Z  Y.

Если детерминант представлен единственным атрибутом, тогда никакие проблемы при определении ключа не возникают. Если же ключ представлен совокупностью нескольких атрибутов, требуется проверить, действительно ли имеет место функционально полная зависимость.

Например, рассмотрим следующее отношение:

ПОСТАВКА ДЕТАЛЕЙ ( S#, SNAME, CITY, P#, PNAME, PRICE, QTY).

Для данного отношения определена функциональная зависимость (S#, P#)  QTY, и она является функционально полной зависимостью.

С другой стороны, для этого же отношения определена и функциональная зависимость (S#, P#)  CITY, но она не является функционально полной, так как существует функциональная зависимость S#  CITY.

Если R – схема отношения с атрибутами A₁, A₂, …, A_n и множеством функциональных зависимостей F, X ⊆ U – некоторое подмножество атрибутов {A₁, A₂, …, A_n}, то X называется ключом R, если:

1. функциональная зависимость X  A₁A₂…A_n принадлежит F⁺,

2. ни для какого собственного подмножества Y ⊂ X функциональная зависимость Y  A₁A₂…A_n не принадлежит F⁺.

Другими словами, X  A₁A₂…A_n есть функционально полная завдекомпозиции отношения рассметривается и деисимость.

Если X – первичный ключ отношения R, тогда из функциональной зависимости X  A₁A₂…A_n в соответствии с правилом 6 следуют функциональные зависимости X  A_i для i = 1, 2, …, n.

Декомпозиция с соединением без потерь

При проектировании базы данных может возникнуть ситуация, когда некоторое отношение должно быть разбито на несколько других отношений. Такой процесс разбиения называется декомпозицией отношения. При этом, поскольку отношение характеризуется схемой и имеет некоторую реализацию, декомпозиция отношения затрагивает и схему отношения, и его реализацию.