Аналитические модели систем обслуживания

Разработка аналитических и имитационных моделей

Исходной информацией при построении окончательных математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S, полученные в концептуальной модели. Это позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. При чем, уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хотел бы получить ответ с помощью модели, т.е. от цели моделирования. Все это определяет выбор математической схемы.

Рассмотрим разработку математической модели на примере систем массового обслуживания.

В рассматриваемом пункте аналитическая модель будет представлена в виде распределения вероятностей состояния системы. Указанные распределения вероятностей для дискретного времени определяются из уравнения Маркова, описывающего так называемые Марковские процессы, а для непрерывного времени – из системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Полученный ряд распределения вероятностей позволяет определить всевозможные характеристики объекта.

Под системой обслуживания понимается система, которая распределяет ограниченные ресурсы среди пользователей. В качестве ресурсов могут фигурировать время, материальные ценности, человеческие ресурсы, информационные ресурсы и т.д. Система включает в себя следующие элементы.

1. Входные потоки пользователей (требований, заявок). Пользователи обращаются к системе за выделением им определённых ресурсов в виде обслуживания.

2. Обслуживающие аппараты (каналы) занимаются распределением ресурсов между пользователями (обслуживанием пользователей). Обслуживающие аппараты часто имеют на своем входе так называемые очереди или средства временного хранения запросов пользователей. Время нахождения пользователя в очереди определяется пропускной способностью обслуживающего аппарата или объёмом имеющихся у него ресурсов.

3. Дисциплина обслуживания это правило, во-первых, по которому пользователь извлекается из очереди на обслуживание; во-вторых, в случае нескольких обслуживающих аппаратов как каналы привлекаются к обслуживанию, а также как регламентируется их работа; в-третьих, как оценивается качество обслуживания и распределяются потоки пользователей внутри системы.

В дальнейшем в качестве ресурса будем рассматривать время. В этом случае характеристиками элементов системы считаются:

- для входных потоков – интервал следования i-х пользователей системы τi;

- для обслуживающих аппаратов время обслуживания io. Если в системе есть очередь, то в качестве ее характеристики используется iож – время нахождения i-го пользователя в очереди или используется средняя длина в очереди . В качестве общей характеристики системы используется время пребывания iпр.

Аналитическая модель системы обслуживания включает в себя отражение потоков, обслуживающих аппаратов и правил обслуживания.

 

2.2.1.1. Моделирование потоков

Поток представляет собой последовательность, как правило, однородных событий. Под событием понимается обращение к системе пользователей, требований, заявок и т. д. Потоки бывают двух видов: 1) регулярные, когда интервал времени между событиями заранее определен (в детерминированных системах); 2) случайные, когда время наступления события случайно (в стохастических системах).

Одной из возможных моделей потока может быть математическая запись вероятности наступления события потока (обращение пользователя к системе).

В простейшем случае (простейшие потоки) для определения используется распределение Пуассона. Распределение Пуассона позволяет найти вероятность наступления k числа событий за интервал времени τ по формуле

,

где - интенсивность потока.

С помощью этой формулы определяется вероятность того, что за интервал времени t к системе будет k обращений с интенсивностью l (число обращений в единицу времени).

Указанная формула математически определяет простейший поток. Простейшим потоком считается стационарный, ординарный поток, в котором отсутствует последействие.

Условие стационарности. Поток стационарный, если в нём вероятность появления k-событий не зависит от времени, а зависит от интервала времени t (см. формулу Пуассона).

Условие ординарности потока.Поток считается ординарным (простым), если за интервал времени t может наступить не более одного события. Для доказательства ординарности потока, представленного пуассоновским распределением, выполним следующие преобразования. Допустим, что за интервал времени t в потоке не наступило события, то есть k=0, тогда

.

Вероятность того, что за время t наступит одно событие

.

Если сложить вероятности и , получим

.

Из этого следует, что за интервал времени t в простейшем потоке может наступить не более одного события.

Отсутствие последействия в потоке.Это значит, что прошлое событие не влияет на вероятность появления последующих событий. Это условие вытекает из определения пуассоновского распределения.

Докажем что в простейшем потоке ti подчиняется показательному закону распределения. Функцию распределения t можно записать в виде

, где t одно из значений t.

Тогда вероятность того, что случайная величина t не примет ни одного из значений меньше или равное t, запишется в виде

.

Из пуассоновского распределения следует, что

.

В этом случае

.

Это запись функции показательного закона распределения, для которого плотность распределения записывается в виде

, где - интенсивность потока , m(τ) – математическое ожидание τ.