Составление концептуальной модели

Описание и формализация задачи моделирования. Под задачей моделирования, как правило, понимается математическое описание структуры или процесса функционирования объекта, т.е. блоков S_I , S_II . Поставленная задача подвергается сначала словесному, а затем формальному описанию тех функций, с помощью которых можно реализовать структуру или процессы в объекте. Под функциями понимается преобразования входных потоков или сигналов в выходные потоки при определенных условиях и ограничениях. Для этого используются различные теории (теории потоков, теория автоматического управления, теория агрегатов, теория массового обслуживания и т.п.). Например, в системах обслуживания задачей является математическое описание процесса распределения ресурсов среди потока пользователей.

На рассматриваемом этапе в первую очередь определяется состав функций, описывающих задачу моделирования. Функции разделяются на детерминированные и стохастические. Для этих функций определяется область значения, описывается их характер. Если это случайная функция, то задаётся закон распределения и основные числовые характеристики. После определения состава функций проводится их математическая формализация таким образом, чтобы упростить реализацию этих функций и получить достаточно точные данные.

Допустим, в качестве объекта фигурирует система обслуживания, основными элементами которой являются входной поток, поступающий из внешней среды, обслуживающий аппарат и правило обслуживания. В этом случае основными функциями, с помощью которых можно реализовать задачу, являются функции, описывающие процесс функционирования и формализующие указанные выше элементы.

Так, по теории массового обслуживания в имитационной модели входной поток можно формализовать уравнением t_i = t_i_-1 + _i, где t_i – момент поступления в систему i-го пользователя, _i – интервал времени между пользователями подчиняется закону распределения и обладает соответствующими числовыми характеристиками.

Обслуживающий аппарат можно формализовать уравнением в виде

t= t+ , где t- момент освобождения аппарата от обслуживания, t- момент начала обслуживания, - время обслуживания i-го пользователя; может принимать два значения: , если пользователь обратился в свободную систему и , если пользователь обратился в занятую систему. - величина случайная, подчиняющаяся закону распределения с соответствующими числовыми характеристиками. Если в системе есть очереди, то они формализуются в виде текущих очередей , средних очередей , максимальных очередей и т.п.

Правила обслуживания (распределение потоков) моделируются с помощью различных условий и сравнений. Например, по условию t_i> tпроверяется - занята или свободна система, выбор пути движения пользователя по системе может определяться по вероятности pa, где 0a1, или по условию сравнения двух характеристик и т. д.

Как правило, выше рассмотренные переменные случайные и подчиняются или равномерному закону распределения в диапазоне от a до b, или показательному закону с интенсивностью и легко реализуются средствами имитационного моделирования.

Так, в примере с ВЦ задачей моделирования является воспроизведение процесса обслуживания студентов вычислительным центром. В этом случае основные функции блоков S_I , S_II запишутся в виде.

1. Входной поток: t_i = t_i_-1 + _i, где _i – интервал поступления студентов в ВЦ, подчиняется равномерному закону распределения (8±2 мин).

2. Обслуживающие аппараты:

а) ЭВМ1 – t= t+ ,

б) ЭВМ2 – t= t+ ,

где , - время обслуживания, соответственно, ЭВМ1 и ЭВМ2; t= t_i, если свободные соответствующие ЭВМ, t= t, если i-я ЭВМ занята, t=t, если к ЭВМ2 обращаются после ЭВМ1. подчиняется равномерному закону (8±1 мин), - показательному закону (мат. ожидание 8,5 мин.).

3. Правило обслуживания:

а) отказ из-за переполнения очереди можно выполнить по условию r_i 4, где r_i - текущая длина очереди,

б) так как 1/4 студентов обращается к ЭВМ1 остальные к ЭВМ2, тогда по вероятности Р 0,25 можно выполнить распределение студентов, по ЭВМ,

в) повторная работа определяется по вероятности Р0,2.

Определение цели, математическая запись критерия цели.После того, как описание задачи и ее формализация выполнены, проводится описание цели моделирования. Целью моделирования обычно является определение характеристик процессов или параметров объекта, подлежащих оценке или выбору. Как правило, целей несколько, поэтому желательно выбирать их таким образом, чтобы они могли быть реализованы одним и тем же математическим аппаратом, что и задача. Выбранные задача и цели в дальнейшем являются основополагающими и все изменения в модели, её структуре должны подчиняться только поставленной задаче и цели. В модель не должны вводиться элементы, которые не дают вклад в выполнение поставленной задачи и цели.

Для количественной оценки цели берется критерий выполнения поставленной цели, (частичная реализация блока S_III) . Критерием может быть характеристика объекта или оценка эффективности работы объекта. При его записи для простоты дальнейших расчетов стремятся к тому, чтобы он был единственным, а если их множество, то чтобы они были независимыми друг от друга.

Так, в системах обслуживания в качестве критерия можно выбрать:

- коэффициент загрузки обслуживающего аппарата К_з=/Т;

- среднюю длину очереди = 1/n;

- среднее время обслуживания одного пользователя = 1/n,

где - суммарное время обслуживания n поступивших за время проведения эксперимента (моделирования) Т пользователей; r_i – длина очереди, - время обслуживания i-го пользователя.

Так, в выше рассматриваемом примере, целью является определение коэффициента загрузки ЭВМ1 за 8 часов (480 мин.) работы ВЦ К_ЗЭВМ1=.

Определение границ модели и ее переменных. На этом этапе из всего объекта выделяется фрагмент, отвечающий поставленной цели. Он подлежит дальнейшему моделированию, остальная часть объекта представляется в виде внешней среды. Если выделение фрагмента привело к изменению характеристик потоков, элементов, связей между ними, то необходима с учетом изменений дополнительная их формализация.

При описании внешней среды указываются только те связи, которые влияют на поставленные задачу и цели моделирования. Остальные связи в модели не учитываются. Обычно связь модели с внешней средой представляется в виде входных потоков (материальных, информационных) или входных сигналов. Установленные связи подлежат математическому описанию на основе ранее выбранных теорий. Как правило, входные потоки или сигналы представляются через параметры, которые фигурируют в математической записи функций модели и критерия цели. В математических записях функций и критерия цели переменные разделяются на два вида. Переменные, определяющие внешнюю среду

, устанавливаются как независимые, неизменяемые переменные (наблюдаемые переменные), например,

входного потока в системе обслуживания. Переменные, описывающие процесс функционирования объекта в модели представляются в виде управляемых, изменяемых переменных, т.е. переменных, которые в процессе моделирования можно подбирать, изменять с целью получения требуемых характеристик, например,

- время обслуживания. В итоге строится структура модели с расшифровкой всех внутренних и внешних связей между элементами. В примере с ВЦ согласно поставленной цели (определение коэффициента загрузки ЭВМ1) фрагмент объекта, подлежащий моделированию, будет таким как показано на рис. 2.

Отказы в

обслуживании

Рис.2

В модели фрагмента - управляемая переменная случайная, подчиняющаяся равномерному закону в диапазоне от 7 до 9 мин. Переменная – неуправляемая случайная с равномерным законом распределения в диапазоне от 6 до 10.

Выбор математического аппарата.После того как в общем виде составлены возможные математические записи основных функций модели и внешней среды, а также критерия цели переходят к выбору конкретного математического аппарата, с помощью которого наиболее просто и достаточно точно можно реализовать поставленные задачу и цели. Для окончательного математического описания необходимо задать исходные данные. Такая исходная информация берется из описания процесса функционирования объекта. Если этой информации недостаточно, то проводятся дополнительные исследования или выдвигаются гипотезы, которые проверяются на аналогичных объектах.

Модель объекта моделирования (система S) окончательно можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества.

1. Совокупность входных воздействий на систему

2. Совокупность воздействий внешней среды

3. Совокупность внутренних (собственных) параметров системы

4. Совокупность выходных характеристик системы

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае x_i, v_l, h_k, y_j являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы S входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид:,,а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F_S, который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношением вида

Совокупность зависимостей основных характеристик системы от времени y_j(t) для всех видов называется выходной траекторией Зависимость называется законом функционирования системы S и обозначается F_S. В общем случае закон функционирования системы F_S может быть задан в виде функции, функционала, логических условий в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования А_S, под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом выходных воздействий воздействия внешней среды и собственных параметров системы Очевидно, что один и тот же закон функционирования F_S системы S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования А_S.

Как правило, математические соотношения являются описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени t, т.е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами).

Математические соотношения могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т.д., и получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями, которыехарактеризуются векторами:

и ,

где …, в момент …, в момент и т.д., .

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний …, то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве, при чем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством состояний объекта моделирования Z, при чем .

Состояние системы S в момент времени полностью определяются начальными условиями , где …, , входными воздействиями внутренними параметрами и воздействиями внешней среды , которые имели место за промежуток времени с помощью двух векторных управлений:

Первое уравнение по начальному состоянию и экзогенным (независимым) переменным определяет вектор-функцию - эндогенные (зависимые) переменные на выходе системы . Таким образом, цепочка управлений объекта «вход – состояния – выход» позволяет определить характеристики системы

В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезки длинной временных единиц каждый, когда где - число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т.е. если можно считать, что стохастические воздействия внешней среды и стохастические внутренние параметры отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференцированные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т.д.

Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные модели, типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени, - конечные автоматы и конечно–разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем – системы массового обслуживания и т.д.

В имитационной модели функции модели можно реализовать в виде вычислительного алгоритма с помощью датчиков случайных чисел, арифметических, логических операторов, установив в них конкретные переменные и их численные значения. Для оценки критериев цели достаточно провести множество экспериментов, по результатам которых собрать и обработать статистические данные и получить функциональные зависимости.

Детализация (декомпозиция) модели.Декомпозиция модели проводится в том случае, если для выполнения поставленной цели моделирования необходимы доработки модели (более детальная проработка отдельных элементов) или же структура и состав модели излишне детализированы и тогда для выполнения поставленной цели модель можно свернут. Декомпозиция проводится также в тех случаях, если требуется уточнение или упрощение критерия цели. Если задача многокритериальная, а критерии к тому же зависят друг от друга, то её стремятся свести к единственному обобщенному критерию, остальные критерии не учитываются. Если это не удается, то путем преобразований стремятся между критериями установить линейную зависимость. Если и это не удается, подбирают удобный численный метод, с помощью которого решается многокритериальная задача с нелинейными зависимостями.

В рассмотренном выше примере декомпозицию проводить не надо. Поэтому окончательно модель можно свести к виду рис. 3.

= 8

= (8

2)/1,2

Рисунок. 3

При этом правила а, б, указанные в п. 1.2, сохраняются. На вход поступает обобщенный поток = (82)/1,2.