В точке, на отрезке, в области.

Непрерывность функции

Функция u = f(M) называется непрерывной в точке М₀, если она определена в этой точке и ее окрестности и

.

Функция u = f(M) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Функция одной переменной y = f(x) называется непрерывной на интервале (a, b) или на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке этого интервала или этого отрезка.

Для функция одной переменной y = f(x) определение непрерывности в точке, используя теорему о существовании предела, можно сформулировать таким образом:

функция y = f(x) является непрерывной в точке х = х₀ , если:

1) функция определена в этой точке х = х₀ и ее окрестности;

2) существуют односторонние пределы:

;

3) односторонние пределы равны и равны значению функции в точке х₀:

;

Данное определение часто используют на практике при исследовании функции на непрерывность.

Приведем краткую запись определения непрерывности функции в точке х₀

 

f – непрерывна в т. х₀ ,если

 

Имеют место следующая

Теорема (об арифметических операциях над непрерывными функциями в точке) :

Если функции f₁(M), f₂(M) непрерывна в точке М₀, то будут непрерывными в этой точке также функции:

Из определения непрерывности функции в точке , следует, что символы предела и функции можно переставить, если функция непрерывна в точке , то есть

.