Условия устойчивости
Устойчивость импульсных систем
Способы построения АФЧХ разомкнутой импульсной системы
Строить АФЧХ разомкнутой ИС можно различными способами.
1. Если передаточную функцию разомкнутой импульсной системы можно представить в виде суммы и произведения простых слагаемых, для которых легко строятся АФХ, то АФХ разомкнутой ИС может быть получена в результате графического сложения и умножения этих АФХ.
АФХ некоторых простейших элементов приведены в приложении 1.
2.Если передаточная функция разомкнутой импульсной системы имеет сложный вид и графическое сложение и перемножение АФХ отдельных составляющих трудоемко, удобнее соответствующие преобразования и необходимые вычисления выполнить аналитически.
Для этого комплексную передаточную функцию разомкнутой
импульсной системы W(jv) необходимо представить в виде отношения полиномов по степеням еjv (см выражение (11.1)), а затем соответствующими преобразованиями привести к показательной форме W(jv) = А(v)е jj(v) , (11.2)
или представить в виде суммы вещественной и мнимой частей
W(jv) = U(v) + jV(v). (11.3)
Используя выражения (11.2) или (11.3) можно построить АФX разомкнутой импульсной системы в полярной или прямоугольной системе координат.
3.Третьим способом построения АФХ разомкнутой импульсной системы является способ построения по АФХ приведенной непрерывной части системы.
4. Четвертый способ основан на использовании импульсной переходной функции приведенной непрерывной части системы.
Устойчивость является одним из первых условий технической применимости проектируемой САР.
Для непрерывных систем необходимым и достаточным условием устойчивости является расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости корней "р" слева от мнимой оси.
В характеристическом уравнении импульсной системы, полученном из Z-передаточной функции, Z=epT является отображающей функцией. Эта функция отображает мнимую ось плоскости корней "р" в единичную окружность плоскости корней "z", а левую плоскость "р" в область внутри этой единичной окружности. Следовательно, импульсная система устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности с центром в начале координат плоскости корней "z".
Примеры расположения корней устойчивой и неустойчивой импульсных систем на плоскости корней "z" показаны на рис.11.3 а, б, соответственно.
Условием устойчивости будет нахождение корней передаточной функции замкнутой системы Ф(z) внутри этой окружности. Следовательно, корни характеристического уравнения 1 + W(z) = 0 должны быть ограничены по модулю: |zi| < 1.
Так, например, для характеристического уравнения первого порядка z + А = 0 очевидное условие устойчивости будет |А| < 1.
Плоскость корней “z” Плоскость корней “z”
j j
 |  |
a) б)
Рис. 11.3. Примеры расположения корней характеристического уравнения импульсной системы: а) - устойчивой; б) - неустойчивой.
Для уравнения второго порядка
z2 + Az + В = 0
условиями устойчивости будут
1 + А + В > 0
1 - А + B > 0
В < 1.
Для уравнений более высокого порядка исследование устойчивости усложняется.
Для облегчения задачи можно использовать так называемое W - преобразование, посредством которого окружность единичного радиуса (рис.11.3) отображается на мнимую ось комплексной величины W. (В литературе это преобразование называют w - преобразованием).
Для преобразования используется подстановка
z = (1 + W)/(l - W) или соответственно
W = (z - 1)/(z + 1)
Сделав подставку z = е jwT , получаем из последнего выражения
W = (e jwT - l)/(e jwT + 1) =jtg wT/2 = jl1,
где l1 = tqwT/2 представляет собой так называемую относительную псевдочастоту.
Соответственно абсолютная псевдочастота
l=2/T tg wT/2 = 2l1 /T.
С учетом последнего выражения можно записать
z = (1 + jlT/2)/(1 - jlT/2) (11.4)
При малых частотах tg wT/2 = wТ/2 и l @ w.
Поэтому при выполнении условия wT< 2 можно заменить в расчетах псевдочастоту действительной частотой.
При изменении частоты в пределах -p/T <w < p/Tпсевдочастота пробегает все значения от - ¥ до +¥, комплексная величина W движется по мнимой оси от -j¥ до +j¥.Областью устойчивости в этом случае оказывается вся левая полуплоскость плоскости корней «W».
В этом случае могут использоваться обычные критерии устойчивости, справедливые для непрерывных систем.