Если возможные значения принадлежат всей оси х, то

 
 

 

 


Среднее квадратическое отклонение непрерывной слу­чайной величиныопределяется, как и для величины диск­ретной, равенством

 
 


Замечание 1. Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непре­рывных величин.

Замечание 2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

 
 


Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятно­стей непрерывной случайной величин, которое описы­вается плотностью

 
 

 

 


Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами:a и σ. Достаточно знать эти пара­метры, чтобы задать нормальное распределение.

Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков:

а есть математическое ожидание, σ—среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непре­рывной случайной величины,

грирования равны старым, получим

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых

Итак, Μ (Χ) = a, т. е. математическое ожидание нор­мального распределения равно параметру а.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что Μ (Χ) = a,имеем

грирования равны старым, получим

Следовательно,

 

 

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру

Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и ( > 0)

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а=0 и = 1.

Плотность нормированного распределения

 

 

Эта функция табулирована.

Замечание 2.Функция F (х) общего нормального распреде­ления

 
 

 


Где Z=(x-a)/

а функция нормированного распределения

 
 

 

 


Функция f0 (х) табулирована. Легко проверить, что

 
 


Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нор­мальной величины Х в интервал (0, х) можно найти, пользуясь

и, следовательно, в силу симметрии φ (x) относительно нуля

 
 

 

 


легко получить, что

Действительно,

 
 


Нормальная кривая

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).Исследуем функцию

 
 

 

 


методами дифференциального исчисления.

1. Очевидно, функция определена на всей оси х.

 
 


Рис. 1

2. При всех значениях х функция принимает поло­жительные значения, т. е. нормальная кривая располо­жена над осью Ох.

3. Предел функции при неограниченном возрастании х

 
 


ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:

Следовательно, при х==а функция имеет максимум.

 

5. Разность х — а содержится в аналитическом выра­жении функции в квадрате, т.е. график функции сим­метричен относительно прямой х = а.

6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

 


производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции

На рис. 1 изображена нормальная кривая при а == 1

Влияние параметров нормального

распределения на форму нормальной кривой

Выясним, как влияют на форму и расположение

ном направлении оси x на а единиц масштаба при а > О или в отрицательном направ­лении при а < 0, получим график f (χ—а). Отсюда сле­дует, что изменение величины параметра а (математиче­ского ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает.

По-иному обстоит дело, если изменяется параметр σ (среднее квадратическое отклонение). Как было указано в предыдущем параграфе, максимум дифференциальной

 

ната нормальной кривой убывает, а сама кривая стано­вится более пологой, т. е. сжимается к осиОх: при

 
 


вершинной·» и растягивается в положительном направле­нии оси Оу.

Подчеркнем, что при любых значениях параметров а и s площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице (см. , второе свойство плотности распределения).

 

 

 


Рис.8.

На рис. 8 изображены нормальные кривые при раз­личных значениях σ и а==0. Чертеж наглядно иллюстри­рует, как изменение параметра σ сказывается на форме нормальной кривой.

Заметим, что при а = 0 и σ == 1 нормальную кривую

2. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вычисление вероятности заданного отклонения.

Уже известно, что если случайная величина Χ задана плотностью распределения f (x), то вероятность того, что Χ примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), такова:

Пусть случайная величина Χ распределена по нор­мальному закону. Тогда вероятность того, что Χ примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую пере-

Таким образом, имеем

 

Пользуясь функцией Лапласа

окончательно получим

 
 


Пример. Случайная величина Χ распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое откло­нение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероят­ность того, что Χ примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. Воспользуемся формулой (*). По условию a=10

По таблице приложения 2 находим Φ (2) == 0,4772. Отсюда иско­мая вероятность

Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной вели­чины Χ по абсолютной величине меньше заданного по­ложительного числа δ, τ. е. требуется найти вероятность

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

Пользуясь формулой (*) (см. § 5), получим

Приняв во внимание равенство

(функция Лапласа—нечетная), окончательно имеем

В частности, при а == О

На рис. 3 наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а = 0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (— δ, δ),

 

 

 

Рис.3.

больше у той величины, кото­рая имеет меньшее значение σ.

Этот факт полностью соответ­ствует вероятностному смыслу параметра σ

(σ есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние

слу­чайной величины вокруг ее математического ожидания).

Замечание. Очевидно, со­бытия, состоящие в осуществлении

Пример. Случайная величина Х распределена нормально. Мате­матическое

ожидание и среднее квадратическое отклонение Χ соот­ветственно равны

20 и 10.

Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет

меньше

трех.

Решение. Воспользуемся формулой

По таблице приложения 2 находим Φ (0,3) =0,1179. Искомая вероятность