Критерий устойчивости Михайлова

Частотные критерии устойчивости

Критерий устойчивости Гурвица

При использовании критерия из коэффициентов характеристического уравнения (7.4) системы составляют матрицу.

По главной диагонали матрицы от левого угла вписываются по порядку все коэффициенты, начиная с C_I и заканчивая С_n. Затем, каждый столбец матрицы дополняют коэффициентами так, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз – уменьшались. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексом меньше 0 и больше n пишут нуль.

C₁ C₃ C₅ C_{7 …..} 0 0

C₀ C₂ C₄ C₆ … 0 0

0 C₁ C₃ C₅ … 0 0 (7.5)

0 C₀ C₂ C₄ … 0 0

…………………………………….

0 0 0 0 . C_n-1 0

0 0 0 0 C_n-2 C_n

Критерий формулируется следующим образом: система устойчива, если при C_о > 0 положительны и n определителей Гурвица, получае­мых из (7.5), т.е.

C₀>0; Δ₁=C₁>0; Δ₂= C₁ C₃ >0 (7.6)

C₀ C₂

C₁ C₃ C₅

Δ₃ = C₀ C₂ C₄ >0; …… Δ_n=C_nΔ_n-1>0

0 C₁ C₃

Это необходимое и достаточное условие устойчивости.

В предпоследнем неравенстве (7.6) Δ_n-1 > 0, поэтому послед­нее неравенство сводится к С_n > 0.

По критерию Гурвица для устойчивости должны удовлетворяться следующие неравенства:

система первого порядка

С₀>0 ; C_I > 0;

cистема второго порядка;

С₀ > 0 ; C₁ > 0 ; C₂ > 0;

система третьего порядка;

С₀ > 0; С₁ > 0; С₂ > 0; C₃ > 0; Δ₂ = C₁C₂ – С₀С₃> 0 ;

система четвертого порядка ;

С₀ > 0; С₁ > 0; С₂ > 0; С₃ > 0; С₄ > 0;

Δ₃ = С₁С₂С₃–С₀С₃²–C₁²C₄ > 0

система пятого порядка;

С₀ > 0; C₁> 0; С₂ > 0; С₃ > 0; С₄ > 0; C₅ > 0; Δ₂ = C₁C₂ – C₀C₃ > 0; Δ₄ = (C₁C₂ – C₀C₃)(C₃C₄ – C₂C₅) – (C₁C₄ – C₀C₅)² > 0;

Для определения устойчивости систем описываемых уравнениями высокого порядка удобно пользоваться частотными методами. Кроме того, эти методы удобно применять, если требуется устано­вить влияние какого-либо параметра на устойчивость системы. Эти критерии обладают большой наглядностью, обусловленной тем, что задача сводится к изучению плоской кривой, которая может быть построена сравнительно просто.

Частотный критерий устойчивости Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой или разомкнутой системы по годографу характеристического вектора (по годографу Михайлова) F(jw), получаемому из характеристического уравнения

F(p) = С₀рⁿ +С₁p^n-1+...+С_n-1p +С_n путем подстановки р = jω:

F(jω)=C₀(jω)ⁿ + C₁(jω)^n-1+...+ C_n-1jω+C_n =X+jY

где X = X(ω) =C_n - ω²C_n-2 + ω ⁴C_n-4 –…; Y = Y(ω) = C_n-1ω – ω³C_n-3 + ω ⁵C_n-5 - ….

Годограф Михайлова есть кривая, которую описывает конец вектора F (jω) на комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞. Годограф начинается при ω=0 на вещественной оси в точке C_n и при ω=∞ уходит в бесконечность в соответствующем квадранте.

Для устойчивости системы n - го порядка необходимо и дос­таточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ годограф Михайлова начинался на положительной вещественной полуоси и обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадратов, нигде не обращаясь в нуль.

В общем случае угол поворота годографа Михайлова опреде­ляется следующим выражением

(7.7)

где l - число корней характеристического уравнения с положитель­ной вещественной частью.

Имея годограф неустойчивой системы, пользуясь равенством (7.7) можно определить число корней характеристического уравнения с по­ложительной вещественной частью.