Нелинейные модели парной регрессии и корреляции

Соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами не всегда можно выразить линейными функциями. Так, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства — трудом, капиталом и т.д.), функции спроса (зависимость между спросом на товары, услуги и их ценами или доходом) и др.

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Нелинейность может проявляться как относительно переменных, так и относительно входящих в функцию коэффициентов (параметров).

Различают два класса нелинейных регрессий:

Ø регрессии, нелинейные по переменным, включенным в анализ, но линейные по оцениваемым параметрам (различные полиномы, гипербола, полулогарифмическая функция)

Ø регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам (степенная, показательная, экспоненциальная функции)

Для оценки параметров нелинейных моделей используют два метода.

Первый метод основан на линеаризации модели и заключается и том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход обычно применяют в случаях, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается. Тогда используют методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Чаще всего в эконометрических расчетах применяют следующие виды нелинейных регрессий: полином второго порядка, гипербола, степенная функция и показательная функция.

Оценка параметров нелинейной регрессии по переменным, включенным в анализ, но линейным по оцениваемым параметрам, проводится с помощью МНК путем решения нормальных уравнений.

Ø Регрессии, нелинейные по переменным, но линейные по оцениваемым параметрам:

- наименование регрессии: полином второго порядка

уравнение регрессии

нормальные уравнения

- наименование регрессии: гипербола

уравнение регрессии

нормальные уравнения

При замене в уравнениях новой переменной X получают линейное уравнение

параметры модели определяют по формулам:

Ø Линеаризация регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам

- наименование регрессии: степенная функция

уравнение регрессии

Для определения параметров степенной функции с помощью МНК необходимо привести ее к линейному виду путем логарифмирования обеих частей уравнения: Это уравнение представляет собой прямую линию на графике, по осям которого откладываются не сами числа, а их логарифмы (так называемая логарифмическая шкала или логарифмическая сетка). Пусть . Тогда уравнение примет вид .

параметры модели определяют по формулам:

- наименование регрессии: показательная функция

уравнение регрессии

Линеаризацию переменных проводят путем логарифмирования обеих частей уравнения: . Уравнение изображается прямой линией на полулогарифмической сетке, которая получается как сочетание натуральной шкалы для значений независимой переменной х и логарифмической шкалы — для значений зависимой переменной у. Пусть . Тогда уравнение примет вид .

параметры модели определяют по формулам:

При использовании любой формы криволинейной корреляционной зависимости теснота связи между переменными может быть измерена с помощью индекса корреляции, который определяется аналогично коэффициенту корреляции для линейной формы связи.

Уравнение корреляционной связи должно быть по возможности более простым, чтобы сущность изучаемой зависимости между переменными проявлялась достаточно четко, а параметры уравнения поддавались определенному экономическому толкованию. Вопрос выбора соответствующего уравнения связи решается в каждом случае отдельно.

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции:

, где

– общая дисперсия результативного признака , – остаточная дисперсия.

Уравнение для расчета индекса корреляции может иметь вид

Величина данного показателя находится в пределах: . Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

, т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии;

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения регрессии по - критерию Фишера:

,где

– индекс детерминации,

– число наблюдений,

– число параметров при переменной .

Фактическое значение - критерия сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы (для остаточной суммы квадратов) и (для факторной суммы квадратов).

О качестве нелинейного уравнения регрессии можно судить и по средней ошибке аппроксимации, которая, так же как и в линейном случае, вычисляется по формуле

Пример 14.

Данные результатов наблюдений представлены в таблице 38.

Таблица 38 – Результаты наблюдений.

X	-2	-1
У	4,8	0,4	-3,3	-0,8	3,2

Определить методом наименьших квадратов параметры a₀, a₁, a₂зависимости вида

Решение методом Крамера.

Составим вспомогательную таблицу и произведем расчеты, необходимые для составления системы нормальных уравнений (таблица 39).

Таблица 39 – Расчетные показатели.

№	X	У	X²	X³	X⁴	X У	X² У
	-2	4,8		-8		-9,6	19,2
	-1	0,4		-1		-0,1	0,4
		-3,3
		-0,8				-0,8	-0,8
		3,2				6,4	12,8
сумма		4,3				-4,4	31,6

На основании полученных результатов расчета коэффициентов система нормальных уравнений примет вид

, ,

Таким образом, уравнение нелинейной регрессии на у примет вид

y = -2,42-0,44x+1,64х².

Путем подстановки значений x, получаем расчетные значения y:

ŷ₁= -2,42-0,44·(-2)+1,64· (-2)²=5,02

ŷ₂=-2,42-0,44·(-1)+1,64· (-1)²=-0,34 т.д.

Результаты вычислений оформляют в таблице 40 ст. 4

Рассчитываем среднее значение y

Рассчитываем значения в таблице 40.

Таблица 40 – Расчетные показатели.

№	x	y		y-	(y- )²	(ˉ -y)	( -y)²
		3
	-2	4,8	5.02	-0.22	0.0484	3.94	15.5236
	-1	0,4	-0.34	0.74	0.5476	-0.46	0.2116
		-3,3	-2.42	-0.88	0.7744	-4.16	17.3056
		-0,8	-1.22	0.42	0.1764	-1.66	2.7556
		3,2	3.26	-0.06	0.0036	2.34	5.4756
		4,3	-	-	1.5504	-	41.272

Уравнение нелинейной регрессии, дополняем показателем корреляции, индексом корреляции R:

Вычисляем индекс корреляции по формуле

= =0,981

Индекс корреляции близок к единице, поэтому можно сделать вывод о довольно тесной связи между заданными величинами.

Текущий контроль знаний по теме:

1. Связь называется корреляционной:

а) если каждому значению факторного признака соответствует вполне определенное неслучайное значение результативного признака;

б) если каждому значению факторного признака соответствует множество значений результативного признака, т.е. определенное статистическое распределение;

в) если каждому значению факторного признака соответствует целое распределение значений результативного признака;

г) если каждому значению факторного признака соответствует строго определенное значение факторного признака.

2. По аналитическому выражению различают связи:

а) обратные; б) линейные;

в) криволинейные; г) парные.

3. Регрессионный анализ заключается в определении:

а) аналитической формы связи, в которой изменение результативного признака обусловлено влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на результативный признак, принимается за постоянные и средние значения;

б) тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи);

в) статистической меры взаимодействия двух случайных переменных;

г) степени статистической связи между порядковыми переменными.

4. Под частной корреляцией понимается:

а) зависимость результативного признака и двух и более факторных признаков, включенных в исследование;

б) связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными);

в) зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков;

г) зависимость между качественными признаками.

5. Какое значение не может принимать парный коэффициент корреляции:

а) -0,973; б) 0,005;

в) 1,111; г) 0,721?

6. При каком значении линейного коэффициента корреляции связь между признаками У и X можно считать тесной (сильной):

а) -0,975; б) 0,657;

в) -0,111; г) 0,421?

7. Какой критерий используют для оценки значимости коэффициента корреляции:

а) F-критерий Фишера;

б) t-критерий Стьюдента;

в) критерий Пирсона;

г) δ-критерий Дарбина—Уотсона?

8. Если парный коэффициент корреляции между признаками У и X равен -1, то это означает:

а) отсутствие связи;

б) наличие обратной корреляционной связи;

в) наличие обратной функциональной связи;

г) наличие прямой функциональной связи?

9. Если парный коэффициент корреляции между признаками У и X принимает значение 0,675, то коэффициент детерминации равен:

а) 0,822; б) -0,675;

в) 0,576; г) 0,456?

10. Согласно методу наименьших квадратов минимизируется следующее выражение:

а) б) ;

в) ; г) ?

11. Оценки параметров регрессии (свойства оценок МНК) должны быть:

а) несмещенными;

б) гетероскедатичными;

в) эффективными;

г) состоятельными?

12. В уравнении линейной парной регрессии параметр а₁ означает:

а) усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов;

б) среднее изменение результативного признака при изменении факторного признака на 1%;

в) на какую величину в среднем изменится результативный признак у, если переменную х увеличить на единицу измерения;

г) какая доля вариации результативного признака у учтена в модели и обусловлена влиянием на нее переменной х?

13. Значение параметра а₁ в уравнении линейной парной регрессии определяется по формуле:

а) ; б) ;

в) ; г) ?

14. Уравнение регрессии имеет вид ŷ = 2,02 ± 0,78х. На сколько единиц своего измерения в среднем изменится у при увеличении х ни одну единицу своего измерения:

а) увеличится на 2,02;

б) увеличится на 0,78;

в) увеличится на 2,80;

г) не изменится?

15. Какой критерий используют для оценки значимости уравнения регрессии:

а) F - критерий Фишера;

б) t - критерий Стьюдента;

в) критерий Пирсона;

г) d - критерий Дарбина - Уотсона?

16. Какой коэффициент определяет среднее изменение результативного признака при изменении факторного признака на 1%:

а) коэффициент регрессии;

б) коэффициент детерминации;