Метод анализа иерархий: особенности и область применимости
Этот метод, разработанный Т. Саати, применяется при решении многих проблем, таких как:
· Определение приоритетных направлений научных исследований;
· Проектирование сложных технических систем;
· Планирование развития фирм;
· Прогнозирование цен на продукцию;
· Выбор новых информационных систем или прикладных программ конкурирующих производителей.
В общем случае иерархия определяет расположение некоторых объектов (элементов иерархии) в порядке от высшего к низшему, от старшего к младшему по степени подчиненности (Рис. 15.2).
Рис. 15.2. Схематическое изображение иерархии.
Метод анализа иерархий включает:
· иерархическое структурирование проблемы;
· попарное сравнение элементов иерархии;
· поэтапное выявление приоритетов.
Высший уровень соответствует цели проблемы. Элементы последующих уровней могут отождествляться:
· с возможными решениями (альтернативами);
· с ограничениями;
· со сторонами, заинтересованными в том или ином решении проблемы;
· с показателями (критериями) эффективности и т.п.
Простейшей является трехуровневая иерархия, включающая (Рис. 15.3):
· уровень цели – первый уровень
· уровень альтернатив (возможных решений) – второй уровень;
· уровень критериев – третий уровень.
Иногда в качестве второго уровня рассматривается уровень критериев, а в качестве третьего – уровень альтернатив.
Рис. 15.3. Простейшая трехуровневая иерархия.
Пример. Менеджер отбирает одного из трех претендентов на вакантную должность на основании следующих критериев: 1) возраст, 2) образование, 3) владение информационными технологиями, 4) знание иностранного языка, 5) коммуникабельность, 6) психологическая устойчивость, 7) способность к самообучению. Здесь иерархия является трехуровневой: число элементов второго уровня (уровня альтернатив) равно трем, а третьего (уровень критериев) - семи.
При структурировании проблемы необходимо соблюдать ряд требований:
Ø Все элементы одного уровня должны быть попарно сравнимы. Это позволяет выявить предпочтения среди альтернатив и определить наилучшее решение.
Ø Структурирование проблемы производится совместно всеми заинтересованными лицами для полноты перечня возможных решений и отражения всего спектра точек зрения и предпочтений участников.
Ø Число элементов на любом уровне иерархии не должно превышать 7 – 9, иначе затрудняется сопоставление элементов иерархии между собой, усложняется получение взаимосогласованных оценок и возрастает риск получения ошибочных решений.
Пример. Решается вопрос о закупке технологической линии для производства компьютеров. Основными критериями выбора для менеджера являются стоимость и производительность линии, причем относительную важность (вес) производительности он оценивает в 17% (0,17), а стоимости - в 83% (0,83). Рассматривается возможность покупки линий трех конкурирующих производителей 
. Оценка линий этих производителей путем попарных сравнений с точки зрения интересующих менеджера критериев дает следующий результат:
| Фирма - производитель | |||
| A | B | C | |
| Производительность линии | 12,9 % | 27,7% | 59,4% |
| Стоимость | 54,5% | 27,3% | 18,2% |
Структура задачи принятия решений приводится на рисунке ниже.
Оценка различных альтернатив основывается на вычислении комбинированного весового коэффициента для каждой из фирм-производителей:
На основании этих оценок фирма A рассматривается как наиболее приемлемый поставщик производственной линии.
Можно усложнить задачу и предположить, что решение о покупке линии сообща принимают 2 совладельца компании, полностью контролирующие пакет акций. Пусть доля в пакете акций первого владельца – Иванова- (его “весовой коэффициент”) составляет 
, а второго – Сидорова – соответственно 
. Иерархия усложняется (см. рисунок), но методика расчета остается аналогичной.
Теперь для расчета, например, комбинированного весового коэффициента фирмы A нужно рассчитать величину
и провести аналогичные расчеты для всех остальных фирм; сравнение полученных значений позволяет найти наилучшее решение.
Главная сложность при реализации МАИ заключается в определении весовых коэффициентов для оценки альтернативных решений.
Определим матрицу сравнений для первого примера (подобные расчеты для второго примера нужно проводить для обоих менеджеров).
С точки зрения менеджера, стоимость линии значительно важнее ее производительности, в связи с чем он приписал элементу (1,2) матрицы попарных сравнений значение 5 (
). Таким образом, получается матрица
.
Относительные веса критериев могут быть определены путем деления элементов каждого столбца на сумму элементов этого же столбца. Таким образом, для нормализации матрицы делим элементы первого столбца на величину
а элементы второго – на величину
Искомые относительные веса критериев 
вычисляются как средние значения элементов соответствующих строк нормализованной матрицы
Столбцы матрицы N одинаковы, что имеет место лишь в случае, когда ЛПР проявляет идеальную согласованность в определении матрицы A.
Относительные веса альтернативных решений, соответствующих фирмам A, B, C, вычисляются в пределах каждого критерия с использованием следующих матриц сравнения
Сумма элементов столбцов = [1,83 3,67 5,5]
Сумма элементов столбцов = [ 8 3,5 1,7 ].
Аналогично получаем следующие нормализованные матрицы
средние значения элементов строк
Средние значения элементов строк
Величины
определяют соответствующие веса для фирм A, B, C с точки зрения стоимости выпускаемых ими линий, а
есть относительные веса, характеризующие производительности линий.
Вопросы для самоконтроля
1. В чем суть экспертного оценивания?
2. Что называется экспертизами?
3. Что представляют собой экспертные оценки?
4. В чем состоит отличие простых экспертиз от сложных?
5. В каких случаях производится декомпозиция проблем?
6. В чем суть экспертного оценивания важности объектов?
7. Что такое матрица экспертных оценок?
8. Кратко охарактеризуйте процедуру усреднения экспертных оценок.
9. Что определяют коэффициенты компетентности экспертов?
10. Что представляет собой матрица взаимосвязи экспертных оценок?
11. В каких случаях производится попарное сравнение объектов?
12. Что представляет собой матрица относительных значимостей объектов?
13. Для чего применяется шкала относительных важности объектов?
14. Сформулируйте требование транзитивной согласованности матрицы относительных значимостей объектов.
15. Что представляют собой интуитивные вероятности?
16. В чем суть метода дерева целей.
17. Что определяет иерархия?
18. В чем суть метод анализа иерархий?
19. С чем могут отождествляться уровни иерархии?
20. Перечислите возможные уровни простейшей трехуровневой иерархии.
21. Сформулируйте основные требования, предъявляемые к процессу структурирования проблемы в рамках метода анализа иерархий.
Литература
1. Холод, Н.И. Экономико-математические модели и методы принятия решений: учеб. пособие / Н.И. Холод, А.В. Кузнецов, Я.И.Жихар [ и др.]; под общ. ред. А.В. Кузнецова. – Минск: БГЭУ, 2000. – 412 с.
2. Таха Х.А. Введение в исследование операций / Х.А. Таха - М.: Вильямс, 2005. - 912 с.
3. Мур, Дж. Экономическое моделирование в Microsoft Excel /Дж. Мур, Л. Уэдерфорд, Г. Эллен. [и др.] - М. Вильямс, 2004. - 1018 с.
4. Костевич, Л.С. Математическое программирование. Информационные технологии оптимальных решений / Л.С. Костевич. - Мн.:Новое знание, 2003. - 424 с.
5. Марков, Л.Н. Анализ и процедуры принятия решений / Л.Н. Марков. - Мн.: Институт упр. и предпринимательства, 2001. - 163 с.
6. Гринберг, А.С. / Информационные технологии оптимальных решений: курс лекций для системы открытого образования / А.С Гринберг, Б.В. Новыш, В.К. Шешолко - Мн.: Акад. упр. при Президенте Респ. Беларусь, 2003. - 410 с.
7. Новыш, Б.В. Математические основы теории принятия решений. Практикум / Б.В. Новыш, О.Б. Плющ, В.К. Шешолко. - Мн.: Акад. упр. при Президенте Респ. Беларусь, 2007. - 123 с.
8. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: учеб. пособие - М.: Инфра-М, 2003. - 445 с.
9. Вентцель Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. - М.: Высш. школа, 2005. - 208 с.