Какую совокупность значений приняли случайные величины ?

 

Если случайные величины независимы, то достаточно раз повторить процедуру, описанную в пункте 3. В случае их зависимости необходимо учитывать условный закон распределения каждой случайной величины.

 

При компьютерном моделировании используется алгоритм генерации псевдослучайных чисел; при “ручном” – таблицы случайных чисел.

Пример: моделирование объема спроса на автомашины. Наблюдения за объемом продаж автомобилей в автосалоне в течение 200 дней показали, что величина спроса изменяется от 0 до 5 автомобилей в день. Частота реализации числа продаж приведена во втором столбце таблицы

Табл. 13.1.

Число продаж Частота реализации Вероятность реализации Значение функции распределения Интервал случайных чисел
10/200 = 0,05 0,05 От 1 до 5
20/200 = 0,1 0,15 От 6 до 15
40/200 = 0,2 0,35 От 16 до 35
60/200 = 0,3 0,65 От 36 до 65
40/200 = 0,2 0,85 От 66 до 85
30/200 = 0,15 1,00 От 86 до 100
ИТОГО 1,00    

 

Необходимо построить модель, имитирующую спрос.

 

Решение. Построим функцию распределения дискретной случайной величины - спроса и зададим интервалы соответствующих случайных чисел (четвертый и пятый столбцы таблицы). Произведем имитацию спроса на машины в автосалоне в течение последующих 10 дней, используя таблицу случайных чисел (второй столбец приводимой ниже таблицы)

Табл. 13.2.

Номер дня Случайное число (из таблицы случайных чисел) Имитируемый дневной спрос

 

Таким образом, суммарный спрос за 10 дней составляет 39 автомобилей, средний ежедневный спрос – 39/10 = 3,9 автомобилей. Оценка средней величины спроса с помощью ИМ (3,9), заметно отличается от значения математического ожидания этой случайной величины (2,95), но различие уменьшается при росте числа испытаний.

Приведем еще один простой пример на применение метода Монте-Карло. Пусть оценивается площадь круга радиуса 5 см, центр которого находится в точке (x0,y0) = (1,2). Заключим круг в квадрат со стороной, равной диаметру.

Если в результате ИМ m из n точек попали внутрь круга (или на окружность), то

Координаты x и y точек квадрата представляют равномерно распределенные случайные величины с плотностями вероятностей:

(обе функции равны нулю вне указанных интервалов).

Если - различные случайные числа из интервала [0,1], то координаты случайных точек (x,y) равны:

Очевидно, точка попадает внутрь круга, если ее координаты удовлетворяют условию

Например, если сгенерированы значения , то соответствующая им точка попадет внутрь круга (проверьте).

Реализация ИМ на компьютере показывает, что оценка площади круга улучшается с увеличением числа генерируемых точек.

Этот пример может быть усложнен. Например, с помощью ИМ можно достаточно точно оценить площадь сложной фигуры типа

 

при условии, что имеется алгоритм определения числа точек, попадающих в затемненную область.

Подобный подход используется для оценки многомерных интегралов, и часто является единственно возможным.

При решении задач с помощью ИМ используются алгоритмы генерации точек с помощью различных законов распределения. Приведем наиболее часто используемые алгоритмы генерации.

 

20.2 Имитационное моделирование как метод анализа инвестиционных проектов

 

Инвестирование играет центральную роль в производственной и коммерческой деятельности и неразрывно связано с процессами принятия решений.

Под инвестиционным проектом можно понимать любое инвестирование денег, генерирующее денежные потоки в будущем (закупка производственного оборудования, разработка информационной системы, выпуск новых товаров, приобретение ценных бумаг и т.п.).

В основе анализа инвестиций лежит метод дисконтирования денежных потоков инвестиционных проектов. Если r – процентная ставка, а P – начальный капитал, положенный в банк, то в конце периода капитализации наращенная сумма составит . За n периодов капитализации сумма составит

Из (1) следует, что

 

т.е. для того, чтобы сумма, наращенная за n периодов, составила S д.е., нужно положить в банк д.е. в начале срока. Такой начальный капитал называется текущей (или приведенной) стоимостью суммы S и обозначается как PV (Present Value).

Важнейшим параметром инвестиционного проекта является чистая приведеннаястоимость проекта (ЧПС или NPV - Net Present Value), равная

где I0 – начальные инвестиции в проект, Ck - денежный поток проекта в k – м периоде, r – норма дисконтирования.

 

Если NPV проекта положительна, то деньги выгоднее вкладывать в проект, чем в банк, и наоборот.

 

Рассмотрим пример инвестиционного проекта.

 

Анализируется проект производства нового вида автомобилей. Начальные инвестиции в проект составляют 40 млн д.е., планируемый выпуск автомобилей Q = 10000 в год, ожидаемая цена p = 11000 д.е., переменные издержки на один автомобиль v = 9000 д.е., постоянные издержки F = 5 млн. д.е. в год. Проект рассчитан на n=5 лет. Налог на прибыль (налоговая ставка) t = 40%. Норма дисконтирования денежных потоков проекта r = 14%.

Будем считать, что налог взымается в конце года с разности между прибылью за год и амортизационными отчислениями (причем только в том случае, если эта разность положительна). Годовая амортизация предполагается равной отношению начальных инвестиций к сроку проекта:

 

Налогооблагаемая прибыль равна

и налог равен , если прибыль положительна, и нулю в противном случае. В нашем случае налогооблагаемая прибыль 7 млн. д.е., налог 7 млн. д.е.´ 40% = 2,8 млн. и прибыль после уплаты налогов равна 15 млн. – 2,8 млн. = 12,2 млн. д.е.

Годовой денежный поток равен:

 

 

Найдем NPV проекта

 

 

Если считать только количество выпускаемых в год автомобилей переменной величиной, а все остальные параметры – постоянными, то уравнение (13.4) принимает вид:

 

 

Реализация инвестиционного проекта подвержена случайным воздействиям, в связи с чем необходимо учитывать факторы неопределенности и риска.

В состоянии неопределенности интервалы возможных значений каждого из параметров проекта порождают интервал значений показателя эффективности, например NPV.

Риск связан с возможностью потери части ресурсов, снижения планируемых доходов или появления дополнительных расходов в ходе проекта.

Анализ риска дает потенциальным инвесторам необходимую информацию для принятия решения о целесообразности участия в проекте, а также мер по защите от возможных финансовых потерь. Анализ требует использования вероятностных понятий и обработки статистических данных.

При моделировании ИП будущий денежный поток (ДП) проекта считают случайной величиной. Пусть - математическое ожидание денежного потока C. Тогда риск характеризуется вероятностью того, что денежный поток будет меньше разности , где d - некоторое положительное число.

В качестве меры риска денежных потоков используют стандартное отклонение денежного потока .

Расчет риска требует информации о распределении ДП. Так как ДП проекта зависит от входных параметров, требуется знать распределение каждого из них.

Пусть в нашем примере годовой выпуск автомобилей можно описать нормальным распределением с математическим ожиданием и СКО (остальные параметры модели считаем детерминированными). Найдем математическое ожидание ДП.

Обозначим через

плотность распределения годового выпуска автомобилей. Тогда математическое ожидание ДП можно найти по формуле

где C(x) – функция, описывающая зависимость денежного потока от выпуска (в нашем случае – формула (5)).

Имеем

 

Аналогично можно определить стандартное отклонение денежного потока, вероятность попадания ДП в некоторый заданный интервал и т.п.

При большом количестве случайных параметров расчет распределений денежных потоков проекта является сложной задачей, и поэтому на практике обычно используют имитационное моделирование.

 

20.3 Имитационное моделирование денежных потоков проекта

Метод имитационного моделирования (ИМ) Монте-Карло позволяет создать случайные сценарии развития инвестиционного процесса и оценить воздействие неопределенности на его эффективность.

Результат анализа риска выражается в виде вероятностного распределения значений показателя. Анализируя результаты ИМ, ЛПР может оценить риск и принять обоснованное решение о целесообразности или нецелесообразности инвестирования.

В ходе ИМ генерируется большое число случайных сценариев, каждый из которых соответствует определенным значениям денежных потоков. Статистическая обработка выявляет долю “неблагоприятных” сценариев, соответствующих, например, отрицательному значению NPV. Отношение числа таких сценариев к общему числу сценариев дает оценку риска инвестиций.

Общий алгоритм ИМ. Модель описывается функциональным соотношением

Для каждого из входных параметров генерируется последовательность случайных значений выходного параметра Y

 

которая подвергается в дальнейшем статистическому анализу.

Предположим, что в нашем примере цена и выпуск случайны, а все остальные параметры детерминированы.

Пусть

где - ожидаемый выпуск автомобилей, а - относительное отклонение выпуска от своего ожидаемого значения. Распределение случайной величины считается известным. Аналогично, предположим, что

 

где - ожидаемая цена автомобиля, а - случайная величина с известным законом распределения.

По теоретическим распределениям отклонений , генерируются последовательности случайных чисел

далее, - с помощью (6) и (7) - последовательности случайных чисел Q и P, которые подставляются в формулу (4), и строится эмпирическое распределение ДП проекта. Для этого распределения находятся выборочные характеристики и доверительные интервалы.

20.4 Имитационное моделирование чистой приведенной стоимости проекта

 

Имитационное моделирование можно использовать и для нахождения эмпирического распределения NPV проекта.

Пусть, например, годовой выпуск автомобилей случаен, а остальные параметры детерминированы. Обозначим через выпуск автомобилей в k-м году. Будем считать, что

где - ожидаемый выпуск автомобилей за первый год проекта, а выпуск за год k связан с выпуском за год k-1 рекуррентным соотношением

 

 

Здесь являются независимыми случайными величинами с известным распределением, и ожидаемый выпуск автомобилей в данном году равен выпуску автомобилей в предыдущем.

По распределению относительных отклонений можно сгенерировать случайные последовательности

подставить их в формулы (8) и (9), и определить

 

 

Далее, подставив эти последовательности в формулу (13.4), можно сгенерировать годовые денежные потоки за пять лет

 

И использовать их при генерировании случайных значений ЧПС

 

по формулам

 

 

Эмпирическое распределение NPV позволяет сделать вывод о перспективах реализации проекта.

 

Вопросы для самоконтроля

8. В чем состоит цель имитационного моделирования?

9. В чем состоит основная идея статистического моделирования (метода Монте-Карло)?

10. В чем отличие непрерывных имитационных моделей от дискретных?

11. Как с помощью имитационного моделирования имитируется наступление случайного события?

12. Как с помощью имитационного моделирования имитируется наступление одного из нескольких событий?

13. Как с помощью имитационного моделирования выяснить, какое значение приняла случайная величина?

14. Как с помощью имитационного моделирования производится генерация интервалов между поступлениями заявок в системах массового обслуживания?

15. Как с помощью имитационного моделирования производится генерация нормально распределенных случайных величин?

16. Что представляет собой чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта?

17. Что представляют собой денежные потоки инвестиционного проекта?

18. С помощью чего выражается результат анализа риска?

19. Как с помощью имитационного моделирования оценивается риск инвестирования?

20. Сформулируйте общий алгоритм имитационного моделирования.

21. Как производится имитационное моделирование денежных потоков проекта?

22. Как производится имитационное моделирование чистой приведенной стоимости?