Какую совокупность значений приняли случайные величины ?
Если случайные величины независимы, то достаточно раз повторить процедуру, описанную в пункте 3. В случае их зависимости необходимо учитывать условный закон распределения каждой случайной величины.
При компьютерном моделировании используется алгоритм генерации псевдослучайных чисел; при “ручном” – таблицы случайных чисел.
Пример: моделирование объема спроса на автомашины. Наблюдения за объемом продаж автомобилей в автосалоне в течение 200 дней показали, что величина спроса изменяется от 0 до 5 автомобилей в день. Частота реализации числа продаж приведена во втором столбце таблицы
Табл. 13.1.
Число продаж | Частота реализации | Вероятность реализации | Значение функции распределения | Интервал случайных чисел |
10/200 = 0,05 | 0,05 | От 1 до 5 | ||
20/200 = 0,1 | 0,15 | От 6 до 15 | ||
40/200 = 0,2 | 0,35 | От 16 до 35 | ||
60/200 = 0,3 | 0,65 | От 36 до 65 | ||
40/200 = 0,2 | 0,85 | От 66 до 85 | ||
30/200 = 0,15 | 1,00 | От 86 до 100 | ||
ИТОГО | 1,00 |
Необходимо построить модель, имитирующую спрос.
Решение. Построим функцию распределения дискретной случайной величины - спроса и зададим интервалы соответствующих случайных чисел (четвертый и пятый столбцы таблицы). Произведем имитацию спроса на машины в автосалоне в течение последующих 10 дней, используя таблицу случайных чисел (второй столбец приводимой ниже таблицы)
Табл. 13.2.
Номер дня | Случайное число (из таблицы случайных чисел) | Имитируемый дневной спрос |
Таким образом, суммарный спрос за 10 дней составляет 39 автомобилей, средний ежедневный спрос – 39/10 = 3,9 автомобилей. Оценка средней величины спроса с помощью ИМ (3,9), заметно отличается от значения математического ожидания этой случайной величины (2,95), но различие уменьшается при росте числа испытаний.
Приведем еще один простой пример на применение метода Монте-Карло. Пусть оценивается площадь круга радиуса 5 см, центр которого находится в точке (x0,y0) = (1,2). Заключим круг в квадрат со стороной, равной диаметру.
Если в результате ИМ m из n точек попали внутрь круга (или на окружность), то
Координаты x и y точек квадрата представляют равномерно распределенные случайные величины с плотностями вероятностей:
(обе функции равны нулю вне указанных интервалов).
Если - различные случайные числа из интервала [0,1], то координаты случайных точек (x,y) равны:
Очевидно, точка попадает внутрь круга, если ее координаты удовлетворяют условию
Например, если сгенерированы значения , то соответствующая им точка попадет внутрь круга (проверьте).
Реализация ИМ на компьютере показывает, что оценка площади круга улучшается с увеличением числа генерируемых точек.
Этот пример может быть усложнен. Например, с помощью ИМ можно достаточно точно оценить площадь сложной фигуры типа
при условии, что имеется алгоритм определения числа точек, попадающих в затемненную область.
Подобный подход используется для оценки многомерных интегралов, и часто является единственно возможным.
При решении задач с помощью ИМ используются алгоритмы генерации точек с помощью различных законов распределения. Приведем наиболее часто используемые алгоритмы генерации.
20.2 Имитационное моделирование как метод анализа инвестиционных проектов
Инвестирование играет центральную роль в производственной и коммерческой деятельности и неразрывно связано с процессами принятия решений.
Под инвестиционным проектом можно понимать любое инвестирование денег, генерирующее денежные потоки в будущем (закупка производственного оборудования, разработка информационной системы, выпуск новых товаров, приобретение ценных бумаг и т.п.).
В основе анализа инвестиций лежит метод дисконтирования денежных потоков инвестиционных проектов. Если r – процентная ставка, а P – начальный капитал, положенный в банк, то в конце периода капитализации наращенная сумма составит . За n периодов капитализации сумма составит
Из (1) следует, что
т.е. для того, чтобы сумма, наращенная за n периодов, составила S д.е., нужно положить в банк д.е. в начале срока. Такой начальный капитал называется текущей (или приведенной) стоимостью суммы S и обозначается как PV (Present Value).
Важнейшим параметром инвестиционного проекта является чистая приведеннаястоимость проекта (ЧПС или NPV - Net Present Value), равная
где I0 – начальные инвестиции в проект, Ck - денежный поток проекта в k – м периоде, r – норма дисконтирования.
Если NPV проекта положительна, то деньги выгоднее вкладывать в проект, чем в банк, и наоборот.
Рассмотрим пример инвестиционного проекта.
Анализируется проект производства нового вида автомобилей. Начальные инвестиции в проект составляют 40 млн д.е., планируемый выпуск автомобилей Q = 10000 в год, ожидаемая цена p = 11000 д.е., переменные издержки на один автомобиль v = 9000 д.е., постоянные издержки F = 5 млн. д.е. в год. Проект рассчитан на n=5 лет. Налог на прибыль (налоговая ставка) t = 40%. Норма дисконтирования денежных потоков проекта r = 14%.
Будем считать, что налог взымается в конце года с разности между прибылью за год и амортизационными отчислениями (причем только в том случае, если эта разность положительна). Годовая амортизация предполагается равной отношению начальных инвестиций к сроку проекта:
Налогооблагаемая прибыль равна
и налог равен , если прибыль положительна, и нулю в противном случае. В нашем случае налогооблагаемая прибыль 7 млн. д.е., налог 7 млн. д.е.´ 40% = 2,8 млн. и прибыль после уплаты налогов равна 15 млн. – 2,8 млн. = 12,2 млн. д.е.
Годовой денежный поток равен:
Найдем NPV проекта
Если считать только количество выпускаемых в год автомобилей переменной величиной, а все остальные параметры – постоянными, то уравнение (13.4) принимает вид:
Реализация инвестиционного проекта подвержена случайным воздействиям, в связи с чем необходимо учитывать факторы неопределенности и риска.
В состоянии неопределенности интервалы возможных значений каждого из параметров проекта порождают интервал значений показателя эффективности, например NPV.
Риск связан с возможностью потери части ресурсов, снижения планируемых доходов или появления дополнительных расходов в ходе проекта.
Анализ риска дает потенциальным инвесторам необходимую информацию для принятия решения о целесообразности участия в проекте, а также мер по защите от возможных финансовых потерь. Анализ требует использования вероятностных понятий и обработки статистических данных.
При моделировании ИП будущий денежный поток (ДП) проекта считают случайной величиной. Пусть - математическое ожидание денежного потока C. Тогда риск характеризуется вероятностью того, что денежный поток будет меньше разности , где d - некоторое положительное число.
В качестве меры риска денежных потоков используют стандартное отклонение денежного потока .
Расчет риска требует информации о распределении ДП. Так как ДП проекта зависит от входных параметров, требуется знать распределение каждого из них.
Пусть в нашем примере годовой выпуск автомобилей можно описать нормальным распределением с математическим ожиданием и СКО (остальные параметры модели считаем детерминированными). Найдем математическое ожидание ДП.
Обозначим через
плотность распределения годового выпуска автомобилей. Тогда математическое ожидание ДП можно найти по формуле
где C(x) – функция, описывающая зависимость денежного потока от выпуска (в нашем случае – формула (5)).
Имеем
Аналогично можно определить стандартное отклонение денежного потока, вероятность попадания ДП в некоторый заданный интервал и т.п.
При большом количестве случайных параметров расчет распределений денежных потоков проекта является сложной задачей, и поэтому на практике обычно используют имитационное моделирование.
20.3 Имитационное моделирование денежных потоков проекта
Метод имитационного моделирования (ИМ) Монте-Карло позволяет создать случайные сценарии развития инвестиционного процесса и оценить воздействие неопределенности на его эффективность.
Результат анализа риска выражается в виде вероятностного распределения значений показателя. Анализируя результаты ИМ, ЛПР может оценить риск и принять обоснованное решение о целесообразности или нецелесообразности инвестирования.
В ходе ИМ генерируется большое число случайных сценариев, каждый из которых соответствует определенным значениям денежных потоков. Статистическая обработка выявляет долю “неблагоприятных” сценариев, соответствующих, например, отрицательному значению NPV. Отношение числа таких сценариев к общему числу сценариев дает оценку риска инвестиций.
Общий алгоритм ИМ. Модель описывается функциональным соотношением
Для каждого из входных параметров генерируется последовательность случайных значений выходного параметра Y
которая подвергается в дальнейшем статистическому анализу.
Предположим, что в нашем примере цена и выпуск случайны, а все остальные параметры детерминированы.
Пусть
где - ожидаемый выпуск автомобилей, а - относительное отклонение выпуска от своего ожидаемого значения. Распределение случайной величины считается известным. Аналогично, предположим, что
где - ожидаемая цена автомобиля, а - случайная величина с известным законом распределения.
По теоретическим распределениям отклонений , генерируются последовательности случайных чисел
далее, - с помощью (6) и (7) - последовательности случайных чисел Q и P, которые подставляются в формулу (4), и строится эмпирическое распределение ДП проекта. Для этого распределения находятся выборочные характеристики и доверительные интервалы.
20.4 Имитационное моделирование чистой приведенной стоимости проекта
Имитационное моделирование можно использовать и для нахождения эмпирического распределения NPV проекта.
Пусть, например, годовой выпуск автомобилей случаен, а остальные параметры детерминированы. Обозначим через выпуск автомобилей в k-м году. Будем считать, что
где - ожидаемый выпуск автомобилей за первый год проекта, а выпуск за год k связан с выпуском за год k-1 рекуррентным соотношением
Здесь являются независимыми случайными величинами с известным распределением, и ожидаемый выпуск автомобилей в данном году равен выпуску автомобилей в предыдущем.
По распределению относительных отклонений можно сгенерировать случайные последовательности
подставить их в формулы (8) и (9), и определить
Далее, подставив эти последовательности в формулу (13.4), можно сгенерировать годовые денежные потоки за пять лет
И использовать их при генерировании случайных значений ЧПС
по формулам
Эмпирическое распределение NPV позволяет сделать вывод о перспективах реализации проекта.
Вопросы для самоконтроля
8. В чем состоит цель имитационного моделирования?
9. В чем состоит основная идея статистического моделирования (метода Монте-Карло)?
10. В чем отличие непрерывных имитационных моделей от дискретных?
11. Как с помощью имитационного моделирования имитируется наступление случайного события?
12. Как с помощью имитационного моделирования имитируется наступление одного из нескольких событий?
13. Как с помощью имитационного моделирования выяснить, какое значение приняла случайная величина?
14. Как с помощью имитационного моделирования производится генерация интервалов между поступлениями заявок в системах массового обслуживания?
15. Как с помощью имитационного моделирования производится генерация нормально распределенных случайных величин?
16. Что представляет собой чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта?
17. Что представляют собой денежные потоки инвестиционного проекта?
18. С помощью чего выражается результат анализа риска?
19. Как с помощью имитационного моделирования оценивается риск инвестирования?
20. Сформулируйте общий алгоритм имитационного моделирования.
21. Как производится имитационное моделирование денежных потоков проекта?
22. Как производится имитационное моделирование чистой приведенной стоимости?