Характеристика стохастических задач, решаемых в условиях риска

Одноэтапные задачи стохастического программирования (СП). Двухэтапные задачи СП. Многоэтапные задачи СП. ММ-формулировка задачи СП. MP- формулировка задачи СП. Страховые запасы. PP- формулировка задачи СП

Основные понятия и определения

ТЕМА 18. МЕТОДЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

 

 

Стохастическое программирование (СП) (стохастическая оптимизация) используется при решении задач, целевая функция и (или) ограничения которых имеют вероятностный смысл. К таким задачам относятся проблемы микроэкономического анализа (страхование, анализ инвестиций, планирование производственной деятельности и т.д.), а также финансового менеджмента, где риск является естественным и неустранимым фактором.

Если невозможно точно определить значения параметров задачи (расход ресурсов, стоимость продукции, величину будущего спроса, запасы сырья и т.д.), то она является стохастической.

Стохастическая постановка задачи более корректно отражает экономическую реальность. При этом, чем больше период планирования, тем выше неопределенность в оценке параметров задачи.

Задачи СП решаются аналитически лишь в наиболее простых случаях (нормальное распределение параметров, небольшое количество переменных задачи и т.п.).

Выделяют одноэтапные, двухэтапные и многоэтапные задачи СП.

В одноэтапных задачах решение принимается один раз (например, при поиске оптимального размещения производственных мощностей).

В двухэтапных задачах решение, полученное на первом этапе, может быть скорректировано на втором. Например, при отсутствии информации об уровне спроса на первом этапе принимается решение о выпуске небольшой партии для оценки спроса. После обработки полученных статистических данных на втором этапе принимается скорректированное решение с учетом реального уровня спроса.

Многоэтапные задачи требуют многократной корректировки решений. К ним относятся задачи

Ø управления запасами,

Ø перспективного инвестирования проектов,

Ø оперативного управления производственными, технологическими и др. процессами.

В стохастических моделях случайными могут быть коэффициенты целевой функции, коэффициенты при неизвестных в системе ограничений и правые части ограничений задачи.

В зависимости от этого возможны различные постановки простейших задач СП, к рассмотрению которых мы перейдем.

 

18.2. Простейшие методы решения стохастических задач: ММ-постановка, MP-постановка (задача с вероятностными ограничениями), PP-постановка

 

1. ММ- формулировка задачи СП

 

При этой постановке задачи СП требуется оптимизировать целевую функцию

где в качестве коэффициентов используются математические ожидания параметров . При этом предполагается, что известен вероятностный закон распределения параметров , либо, по - крайней мере, их средние ожидаемые значения (математические ожидания). Ограничения задачи имеют вид:

где - математические ожидания соответствующих случайных величин , которые могут быть найдены либо теоретически по известному закону распределения, либо с помощью статистической обработки данных.

Таким образом, в ММ-формулировке задача сводится к обычной задаче линейного программирования путем замены всех параметров на их математические ожидания

К сожалению, этот простой подход редко позволяет найти действительно оптимальное решение, в связи с чем приходится использовать более сложные методы.

 

2. МP - формулировка задачи СП (задача с вероятностными ограничениями)

 

При данной постановке ЦФ имеет вид (18.1), однако ограничения записываются в виде

т.е. предполагается, что вероятность выполнения каждого ограничения должна быть не менее заданной величины . Задачу с условиями (3) называют задачей с вероятностными ограничениями.

Рассмотрим алгоритм решения задач данного типа. Будем предполагать, что величины распределены по нормальному закону и известны их математические ожидания, а также дисперсии величин

, .

Для простоты предположим также, что как , так и являются независимыми нормально распределенными случайными величинами, т.е.

 

;

и

.

Детерминированный эквивалент задачи СП с вероятностными ограничениями:

 

 

где - квантиль стандартного нормального распределения, определяемый из соотношения.

 

Система (18.4) описывает задачу нелинейного программирования, которая может быть решена с помощью стандартных пакетов прикладных программ.

Проанализируем отличия модели с вероятностными ограничениями (18.4) от стандартной модели с детерминированными ограничениями, т.е. определим, к каким изменениям приводит случайный характер параметров модели.

Введем обозначение

 

Анализ ограничений системы (18.4) показывает, что по сравнению с детерминированной задачей все ресурсы уменьшаются на величины . Т.е. вследствие стохастичности модели необходимо увеличение ресурсов на величину («плата за риск»). Например, для обеспечения выпуска продукции в заданном объеме в условиях риска необходимо ресурсы увеличить на величины .

Из формулы (18.5) видно, что на величины влияют вероятностные характеристики параметров модели:

§ - дисперсии значений норм расхода; и

§ - дисперсии ресурсов.

 

Очевидно, увеличение дисперсий приводит к необходимости увеличения «страховых запасов» . Важно также, что увеличение заданных уровней вероятности выполнения ограничений () также приводит к увеличению (т.к. функция распределения вероятностей является монотонно возрастающей) – это можно считать своего рода «платой за определенность».

 

Пример.

 

Максимизировать целевую функцию

 

при ограничениях

Известно, что

Решение. Для вероятности находим по таблице функции стандартного нормального распределения .

Детерминированный вариант задачи принимает вид:

 

 

Решение дает: .

 

3. PP - формулировка задачи СП

 

При PP - формулировке сначала задается предельно допустимое «наихудшее» значение целевой функции. Если, исходя из экономического смысла задачи, необходимо максимизировать критерий эффективности, то задается минимально допустимое его значение и требуется выполнение условия .

Наоборот, при минимизации ЦФ (например, себестоимости продукции), задается максимально допустимое значение и налагается условие . Задача в PP – постановке состоит в том, чтобы найти такие значения переменных , при которых максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не хуже предельно допустимого значения.

Математическая модель стохастической задачи в PP - формулировке может быть представлена в виде:

 

(в случае минимизации выражение в скобках в первой формуле (18.7) имеет вид ).

Законы распределения всех параметров считаются известными. Решение задач стохастического программирования данного типа получить сложнее.

 

Вопросы для самоконтроля

1. В чем состоит суть задач стохастического программирования?

2. Сформулируйте различие между одноэтапными, двухэтапными и многоэтапными задачами СП.

3. Сформулируйте алгоритм решения задач СП в ММ - формулировке.

4. Сформулируйте алгоритм решения задач СП в МP - формулировке.

5. Что такое страховые запасы?

6. Чем обусловлена плата за риск?

7. Что представляет собой плата за определенность?

8. Сформулируйте алгоритм решения задач СП в PP - формулировке.