Постановка задачи в условиях неопределенности

 

Простейший случай, рассмотренный выше, не так часто встречается на практике. Гораздо более типичен случай, когда не все условия, в которых будет проводиться операция, известны заранее, а некоторые из них содержат элемент неопределенности. Например, успех операции может зависеть от метеорологических условий, колебаний спроса и предложения, поведения противника и т.п.

 

В подобных случаях эффективность операции зависит не от двух, а от трех категорий факторов:

· заданные и априорно известные факторы (условия проведения операции, ограничения), на которые мы влиять не можем: α1, α2, … ;

· неизвестные условия или факторы: Y1, Y 2, … ;

· зависящие от нас факторы (элементы решения), которые мы, в известных пределах, можем выбирать по своему усмотрению: x1, x2, … .

 

Показатель эффективности W зависит от трех групп факторов:

 

.

 

Задача исследования операций в этом случае формулируется так: при заданных условиях α1, α2, …с учетом неизвестных факторов Y1, Y2, … найти такие x1, x2, … , которые, по возможности, обращали бы показатель W в максимум.

 

Применяемые методы решения подобных задач существенно зависят от того, какова природа неизвестных факторов Y1, Y2, … и какими сведениями о них мы располагаем.

Наиболее простым и благоприятным для расчетов является случай, когда неизвестные факторы Y1, Y2, … представляют собой случайные величины, о которых имеются статистические данные, характеризующие их распределение. В этом случае для оптимизации решения может быть применен один из двух следующих приемов.

 

1. Сведение к детерминированной схеме. Все случайные факторы Y1, Y2, … приближенно заменяются не случайными (как правило, их математическими ожиданиями). Этот прием обычно используется в получения грубых, ориентировочных расчетах, когда диапазон случайных изменений величин Y1, Y2, … сравнительно мал.

 

2. Оптимизация в среднем. Более сложный прием, применяется когда случайность величин Y1, Y2, … существенна, и замена каждой из них ее математическим ожиданием может привести к большим ошибкам. Рассмотрим этот случай подробнее.

Пусть показатель эффективности W зависит от случайных факторов Y1, Y2, … , и нам известна их совместная плотность распределения . Предположим, что операция выполняется много раз, причем условия Y1, Y2, … меняются раз от раза случайным образом. Очевидно, что следует выбрать решение x1, x2, … , при котором операция в среднем будет наиболее эффективна, то есть математическое ожидание показателя эффективности будет максимально. Иначе говоря, следует максимизировать величину

 

Такая оптимизация называется оптимизацией в среднем. Успешность каждой отдельной операции может сильно отличаться от ожидаемой средней. Но при многократном осуществлении операции эти различия, в среднем, сглаживаются.

 

Наиболее трудным для исследования является случай неопределенности, когда неизвестные факторы Y1, Y2, … не могут быть изучены и описаны с помощью статистических методов. В этом случае вместо получения одного единственного оптимального решения может быть использован следующий подход. Придадим определенные допустимые значения факторам Y1 = y1, Y2 = y2, … , решим полученную детерминированную задачу и получим локально-оптимальное решение для данной совокупности условий. При других значениях факторов Y1, Y2, … получим другое локально-оптимальное решение и т.д. На основе совокупности локально-оптимальных решений для всего диапазона условий Y1, Y2, … может быть принято компромиссное решение, которое, не будучи, возможно, строго оптимальным ни для каких условий, оказывается приемлемым в целом диапазоне условий.

 

И, наконец, возможны так называемые конфликтные ситуации, когда неизвестные параметры Y1, Y2, … зависят не от объективных обстоятельств, а от активно противодействующего нам противника. Такие ситуации характерны для боевых действий, различных игр, спортивных соревнований, конкурентной борьбы и т.д. При выборе решений в подобных случаях используется математический аппарат теории игр. Методы теории игр позволяют определить наименее рискованную стратегию, которая, возможно, не максимизирует наш выигрыш, но минимизирует, в среднем, проигрыш.